［学习目标］ 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂和实数指数幂的含义. 一、分数指数幂 问题1 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 知识梳理 1.正分数指数幂 给定 a和 m，n（n>1，且m，n互素），若存在唯一的 b，使得 ，则称b为a的次幂，记作b= .这就是正分数指数幂.有时，也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n（n>1，且m，n互素），定义=_____ = ，这就是负分数指数幂. 例1 （1）把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式. ①b3=32； ②b2=； ③b-3=34；④b-3m=24n（m，n∈N+）. （2）计算： ①6； ②； ③； ④1. 反思感悟 （1）化为分数指数幂的形式时，常采用下面方法： （2）分数指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解分数指数幂. 跟踪训练1 （1）把下列各式中的a（a>0）写成分数指数幂的形式. ①a5=54； ②a3=（-5）8； ③a-3=104m（m∈N+）. （2）计算：①0.12； ②. 二、根式分数指数幂的计算 例2 （1）用分数指数幂表示下列各式（a>0）： ①； ②； ③. （2）将下列分数指数幂化为根式： ①（a>0）； ②（m，n∈N+）； ③·（x>0，y>0）. 反思感悟 （1）根式与分数指数幂互化的规律： ①根指数分数指数幂的分母. ②被开方数（式）的指数分数指数幂的分子. （2）分数指数幂与根式是同一个数的两种不同书写形式. （3）掌握两个公式：①（）n=a（n∈N+，且n>1）；②n为奇数，=a； n为偶数，=|a|= 跟踪训练2 （1）用分数指数幂表示下列各式（a>0，b>0）：①； ②a3·. （2）已知a=，b=1，c=12，试比较a，b，c的大小. 三、无理数指数幂 问题2 阅读课本77页的分析理解，你发现了什么？ 知识梳理 无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定：a-α=. 例3 （1）（多选）下列各式是无理数指数幂的是 （ ） A. B.2 C.2π D. （2）1= . 反思感悟 记住无理数指数幂的形式aα，并且a-α=. 跟踪训练3 （多选）下列各式正确的是 （ ） A.=2 B.1-π=1 C.=27 D.1=（ 1.知识清单： （1）正分数指数幂和负分数指数幂. （2）根式与分数指数幂的互化. （3）无理数指数幂和实数指数幂. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义. 1.可化为 （ ） A. B. C. D. 2.（a>0）可化为 （ ） A. B. C. D.- 3.方程=的解是 （ ） A.- B.- C. D. 4.若b-5=32-3（b>0），则b= . 答案精析 问题1 =，==，=，==. 知识梳理 1.正数 正整数 正数 bn=am 2. 例1 （1）解 ①b3=32=25，∴b=. ②b2=，∴b=. ③b-3=34，∴b=. ④b-3m=24n，∴b=. （2）解 ①令b=6，∴b2=64， ∴b=8（b>0）， ∴6=8. ②令b=，∴b3==，∴b=， ∴=. ③=，令b=， ∴b3== =， ∴b==， ∴==9. ④1=，令b=1， ∴b2=163=（42）3=（43）2， ∴b=43=64（b>0），∴1=. 跟踪训练1 （1）解 ①a=. ②a3=（-5）8=58，∴a=. ③a=1==. （2）解 ①0.12=， 设b=0.12， ∴b3=0.125==， ∴b=，∴0.12=2. ②=，设b=， ∴b2==，∴b=， ∴=. 例2 （1）解 ①原式=. ②原式==b2. ③令b==（a， ∴b2=a，∴==， ∴=a，即=a， ∴b4=a3，∴b=，即原式=. （2）解 ①=. ②==. ③==. 跟踪训练2 （1）解 ①原式=. ②令b=a3，∴==， ∴=a，即=a，∴b2=a7. ∴b=，即a3·=. （2）解 ∵a====， b=1===， c=12=， 而121<123<125， ∴>>， ∴a>c>b. 问题2 可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它 ... ...
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