培优课 基本不等式的综合问题 基本不等式≤（a，b≥0）在求最值中的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有常数代换法求最值、消元法求最值、换元法求最值等. 一、常数代换法求最值 例1 已知x，y是正数且x+y=1，则+的最小值为 （ ） A. B. C.2 D.3 反思感悟 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 跟踪训练1 已知a>0，b>0，a+2b=1，求t=+的最小值. 二、消元法求最值 例2 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值. 延伸探究 已知x>0，y>0，满足xy=x+y+3，求xy的最小值. 反思感悟 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 跟踪训练2 已知a>0，b>0，且2a+b=ab-1，则a+2b的最小值为 . 三、换元法求最值 例3 已知x，y为正实数，且x+2y=4，则+的最小值为 . 反思感悟 换元法求最值的思路 观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决. 跟踪训练3 已知a>0，b>0且a+b=3，式子+的最小值是 . 1.知识清单： （1）常数代换法求最值. （2）消元法求最值. （3）换元法求最值. 2.方法归纳：常数代换法、消元法、换元法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 1.y=（x>1）的最小值为 （ ） A.8 B.2 C.6 D.12 2.已知x>0，y>0，+=1，则使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围是 （ ） A.m≥18 B.m≤18 C.m≥16 D.m≤16 3.若正数x，y满足x2+xy-2=0，则3x+y的最小值是 （ ） A.4 B.2 C.2 D.4 4.已知x，y为正实数，且x+y=2，则+的最小值为 . 答案精析 例1 B [由x+y=1, 得(x+2)+(y+1)=4, 即[(x+2)+(y+1)]=1, ∴+ =[(x+2)+(y+1)] = ≥(5+4)=, 当且仅当x=,y=时,等号成立. ∴所求最小值为.] 跟踪训练1 解 因为a>0,b>0,a+2b=1, 所以t=+=(a+2b) =+=1+++2 ≥3+2=3+2. 当且仅当 即时,等号成立, 故t的最小值为3+2. 例2 解 由x+2y+2xy=8,可知y=, 因为x>0,y>0,所以0
0,y>0, 所以x-1>0, 所以xy=x·= = =x-1++5 ≥2+5=9, 当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立. 所以xy的最小值为9. 跟踪训练2 5+2 解析 由2a+b=ab-1, 得a=, 因为a>0,b>0, 所以a=>0,b+1>0, 所以b>2, 所以a+2b=+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)++5 ≥2+5 =5+2, 当且仅当2(b-2)=, 即b=2+时,等号成立. 所以a+2b的最小值为5+2. 例3 2 解析 令x+2=a,2y+2=b, 则a+b=8, 原式转化为+ =a+b++-8=+ =(a+b) =1+≥2,当且仅当a=b=4时取等号,此时x=2,y=1.故所求最小值为2. 跟踪训练3 2 解析 令a+2 022=x,b+2 023=y, 则x>2 022,y>2 023且x+y=4 048, ∴(x+y)=1, ∴+ =2 024 =2 024(x+y) =1+ ≥1+×2=2, 当且仅当=,即x=y=2 024时,等号成立,此时a=2,b=1, ∴所求最小值为2. 随堂演练 1.A 2.D 3.A 4.1+(课件网) 第3章 <<< 培优课 基本不等式的综合问题 基本不等式≤(a,b≥0)在求最值中的应用广泛,方法灵活多变,常见考查情形有常数代换法求最值、消元法求最值、换元法求最值等. 一、常数代换法求最值 二、消元法求最值 课时对点练 三、换元法求最值 随堂演练 内容索引 一 常数代换法求最值 已知x,y是正数且x+y=1,则+的最小值为 A. B. C.2 D.3 例 1 √ 由x+y=1,得(x+2)+(y+1)=4, 即[(x+2)+( ... ... 