4.2.3 换底公式及对数的应用 ［学习目标］ 1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 一、换底公式 问题1 上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 问题2 是否对任意的logab都可以表示成logab=（a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1）？说出你的理由. 知识梳理 换底公式 （1）logaN= （a>0，a≠1， N>0，c>0，c≠1）. （2）对数换底公式的重要推论： ①logaN=（N>0，N≠1；a>0，a≠1）； ②lobm=logab（a>0，a≠1，b>0）. ③logab·logbc·logcd=logad（a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1）.特别地logab·logba=1. 例1 （1）计算：（log43+log83）（log32+log92）； （2）已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值. 反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练1 （1）的值是 （ ） A. B. C.1 D.2 （2）计算：. 二、有附加条件的对数式求值问题 例2 （1）设3a=4b=36，求+的值； （2）已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值. 反思感悟 利用对数式与指数式互化求值的方法 （1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. （2）对于连等式可令其等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 跟踪训练2 已知3a=5b=c，且+=2，求c的值. 三、对数的实际应用 例3 一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？（lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2） 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤 跟踪训练3 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+（θ1-θ0）e-kt（k为常数，e为自然对数的底数）得到，现有65℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是55℃. （1）求常数k的值： （2）该物体冷却多少分钟后温度是35℃？（精确到1）（参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61） 1.知识清单： （1）换底公式. （2）有附加条件的对数式求值问题. （3）对数的实际应用. 2.方法归纳：换底公式、转化法. 3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. 1.0.25-+log23·log34的值为 （ ） A. B. C.1 D. 2.已知2x=3，log4=y，则x+2y的值为 （ ） A.3 B.8 C.4 D.log48 3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48） （ ） A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 4.若xlog32=1，则4x的值是 （ ） A.9 B.3 C.2log32 D.2log23 答案精析 问题1 设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=. 问题2 依据当a>0,a≠1时,ax=N logaN=x推导得出. 令=x,则logcb=xlogca=logcax, 故b=ax,∴x=logab,∴logab=. 知识梳理 (1) 例1 解 (1)原式= ==×=. (2)方法一 ∵log189=a,18b=5, ∴log185=b. ∴log3645== ===. 方法二 ∵log189=a,18b=5, ∴log185=b. ∴log3645== ==. 跟踪训练1 (1)A [方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数, 即===. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数, 即===.] (2)解 原式= =lo·lo9=lo·3lo32 =-·log32·3log23=-. 例2 解 (1)方法一 由3a=4b=36, 得a=log336,b=log436, 由换底公式得=log363,=log364, ∴+=2log363+log364 =log369+log364=log3636=1. 方法二 由3a=4b=36,两边取以6为底的对数,得alog63=blog64=log636=2, ... ...
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