一、三角函数式的化简、求值 1.(1)两个基本关系式sin2α+cos2α=1及=tan α. (2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号. 3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角. 4.通过三角函数中公式的正用、逆用及变形应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1 已知f(α)=. (1)化简f(α)； (2)若f(α)=，且<α<，求cos α-sin α的值； (3)若α=-，求f(α)的值. 反思感悟 三角函数式的求值、化简的策略 (1)化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时，往往把切化为弦，再化简变形. (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称统一为正切，再化简. (3)“1”的代换：在三角函数式中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式. 三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字.当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”. 跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为 ( ) A.1 B.- C.-1 D.-4 二、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换. 3.借助三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养. 例2 已知函数f(x)=2sin-在x=处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期及增区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=-，求cos的值. 反思感悟 三角函数的三条性质 (1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sin x，余弦函数y=cos x的增(减)区间对应解出x，即得所求的增(减)区间. (2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式. 跟踪训练2 已知函数f(x)=sin (ω>0)在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合.当x∈(0，4π)时，使得不等式f(x)≤成立的x的最大值为 . 三、三角函数模型的简单应用 例3 潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象.一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐.某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深.当x=时，海水上涨至最高5米. (1)作出函数f(x)在［0，4π］内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相位； (2)求海水水深持续加大的时间区间. 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练3 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，且圆O与水平面的距离为2米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m.在水面下，则H为负数)与时间t( ... ...
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