第九章 图形的相似 专项训练 证明比例式或等积式的常用方法（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第九章 图形的相似 专项训练 证明比例式或等积式的常用方法 技巧一 三点定形法 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点 E在边BC上移动(点E 不与点 B，C重合)，满足∠DEF=∠B,且点 D,F 分别在边 AB,AC上, (1)求证: (2)当点 E 移动到 BC 的中点时,求证:FE平分∠DFC. 技巧二 等线段代换法 2.如图,在梯形 ABCD中,AD∥BC,AC与BD 相交于点O,点 E 在线段OB 上,AE 的延长线与 BC 相交于点 F, (1)求证：四边形 AFCD 是平行四边形； (2)如果 BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD. 3.如图,已知在△ABC中,AD是△ABC的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE=CD. (1)求证: (2)求证: 技巧三 等比代换法 4.如图所示，在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线 AC,BD 相交于点E,点 F 在边AB 上,连接 CF 交线段BE 于点G, (1)求证:∠ACF=∠ABD; (2)连接 EF,求证:EF·BG=FG·CB. 5.如图,在 中，点D,E 分 别 在 边 AB,AC 上,∠AED =∠B,AG分别交线段 DE,BC 于点 F,G,且 AD: AC=DF: CG. 求证:(1)AG平分∠BAC; (2)EF·CG=DF·BG. 技巧四 等积代换法 6.如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,E 是△ABC内一点,DE∥BC,过 D 作AC 的平行线交CE 的延长线于点F，CF与AB 交于点 P,求证: 7.如图，在 中， CD 是斜边AB 上的高，G是 DC 延长线上一点，过点 B作 ,垂足为E,交 CD 于点 F.求证： 8.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点 D,E,F. (1)求证: (2)连接EF,求证:AE·BC=EF·AC. 参考答案 1.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB, ∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF, (2)∵△BDE∽△CEF, ∵点 E 是BC 的中点,∴BE=CE, ∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC. 2.证明:(1)∵OD =OE·OB, ∵AD∥BC, 又∵∠AOE=∠DOC,∴△AOE∽△COD,∴∠EAO=∠DCO,∴AF∥CD, ∴四边形 AFCD 是平行四边形； (2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC, ∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD. ∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC. ∵AE·AF=AD·BF, ∵四边形 AFCD 是平行四边形，∴AF=CD, ∴△ABE∽△ACD. 3.证明:(1)∵CD=CE,∴∠CED=∠EDC, ∵ ∠AEC + ∠CED = 180°, ∠ADB +∠EDC=180°,∴∠AEC=∠ADB, ∵∠DAC=∠B,∴△ACE∽△BAD; ∵BD=CD=CE, (2)∵∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA, ∵△ACE∽△BAD,∴AE·AD=BD·CE, ∴2AE·AD=2BD·CE=BC·CD, 4.证明: 又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE. ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD; (2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE. 又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC. ∴FG·BC=FE·BG. 5.证明:(1)∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°,∠BAC+∠B+∠C=180°,∠AED=∠B, ∴∠ADE=∠C, 在△ADF 和△ACG中,AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C,∴△ADF∽△ACG, ∴∠DAF=∠CAG,∴AG平分∠BAC; (2)在△AEF和△ABG中,∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG,∴△AEF∽△ABG, 在△ADF 和△AGC中,∠DAF=∠CAG,∠ADF=∠C,∴△ADF∽△ACG, ∴EF·CG=DF·BG. 6.证明:∵DE∥BC,∴△PDE∽△PBC,即 PD·PC=PB·PE①, ∵DF∥AC,∴△PDF∽△PAC, 即 PD·PC=PA·PF②,联立①②,得 PE·PB=PA·PF, 7.证明:∵CD⊥AB,BE⊥AG,∴∠GEB=∠BDF, ∴∠G=∠DBF,且∠ADG=∠FDB,∴△ADG∽△FDB, 即AD·BD=DF·DG, ∵∠ACB=90°,∠CDB=90°,∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD, ∴∠CAD=∠DCB,∴△ADC∽△CDB, ,即AD·BD=CD°, 8.证明:(1)∵DE⊥AB,AD⊥BC,∴∠AED=∠BDA=90°, 又∵∠EAD=∠DAB,∴△AED∽△ADB, (2)同(1),得AD =AF·AC,∴AE·AB=AF·AC, ∴△EAF∽△CAB,∴AE·BC=EF·AC. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...