第九章 图形的相似 专项训练 利用“基本图形”探索相似的条件（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第九章 图形的相似 专项训练 利用“基本图形”探索相似的条件 模型一 “平行线”型 名称 A 字形 8字形 图形 重要结论 当DE∥BC时,△ADE∽△ABC,∴AB=AE=DEC 1.如图,点 A,B,C,D在一条直线上,CE 与BF 交于点G,∠A=∠1,CE∥DF. (1)求证:∠E=∠F; (2)若AB: BC : CD=2: 2 : 1,直接写出 的值. 2.如图,在矩形 ABCD中,点 E 在边 AD 的延长线上,DE=DC,连接 BE,分别交边 DC和对角线AC 于点 F,G,AD=FD. (1)求证:AC⊥BE; (2)求证: 模型二 “斜截”型 如图，图中有斜交叉相等的相似角，又有公共角或对顶角,则△ADE 与△ABC 称为“斜交型”的相似三角形.(有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”“燕尾型”) 名称 图形 重要结论 反A 共角型 当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB, ∴ 反 A共角共边型 当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB时,△ACD∽△ABC, ∴AC =AD·AB 蝶型 当∠A=∠C 或∠B=∠D时,△ABO∽△CDO, ∴ 燕尾型 当∠A = ∠C 或∠ABF =∠CDF时, ①△ADE∽△CBE,∴; ②△ABF∽△CDF,∴ 3.如图,在△ABC中,点 D 在边 AB 上,且∠ACD=∠B,若AC= ,AD=1,则 DB的长为 . 4.如图,AD与BC交于O点,∠A=∠C,BO=4,DO=2,AB=3,则 CD的长为 . 5.如图,D,E分别是AC,AB上的点,连接 DE,且∠ADE=∠B,若DE=8,AB=18,AD=6,求 BC的长. 6.如图,BD,CE分别是AC 与AB 边上的高.求证:△ADE∽△ABC. 模型三 “双垂直”型(也称“母子相似”型) 名称 图形 结论 双垂直 共角型 当 AC⊥BC,DE⊥AB时,△ADE∽△ACB,∴AD=AB=BE 双垂直共角共边型 当 CD⊥AB,AC⊥BC时， ① △ACD ∽ △ABC AC =AD·AB; ② △ACD ∽ △CBD CD =AD·BD; ③△BCD ∽ △BAC BC =BD·AB 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,点E是AC上的一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,求AD的长. 8.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD是斜边BC 上的高. (1)证明:△ABD∽△CBA; (2)若AB=6,BC=10,求 BD的长. 模型四 “旋转”型 名称 图形 结论 旋转型 当∠1=∠2,∠B=∠D时,△ADE∽△ABC,∴AB=BE=AE 9.如图,AB 和CD 相交于点F,E为CF 上一点,连接AD,AC,AE,其中∠DAF=∠EAC=∠FCB. (1)请根据题意从图中找到一对相似三角形，并给予证明； (2)若 求线段AE的长. 10.(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.请直接写出BD和CE的数量关系; (2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,.连接 BD,CE.请直接写出 的值； (3)【拓展提升】如图3,△ABC 和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且 连接BD,CE. ①求 的值； ②延长CE交BD 于点 F,交 AB 于点G.若 求 BF 的长. 模型五 “一线三等角”型 类型一：以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，如图，∠1=∠2=∠3，则图中两阴影部分三角形相似. 11.如图,在等边△ABC中,P 为 BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD= (1)求证:△ABP∽△PCD; (2)求△ABC的边长. 12.如图，在等边三角形ABC中,点 P 是边 BC 上一动点(P 点不与端点重合),作∠DPE=60°,PE 交边AC 于点E,PD交边AB 于点 D. (1)求证:△BPD∽△CEP; (2)若AB=10,BD=3,CP: BP=1:4,求CE的长. 类型二：以直角三角形为背景，三个直角的顶点在同一直线上，如图，三个直角相等，此时两阴影部分的三角形相似. 13.折叠矩形 ABCD,使点D 落在BC 边上的点 F 处,折痕为 AE. (1)求证:△ABF∽△FCE; (2)若CF=4,EC=3,求矩形 ABCD的面积. 14.如图所示，在正方形ABCD中,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA延长线于点F. (1)求证:△ECD∽△DEF; (2)若CD=8,求AF 的长. 模型六 “半角”型 名称 图形 重要结论 半角为45° 当△ABC是等腰直角三角形,∠MAN=∠BAC时,△ABN∽△MAN∽△MCA 半角为60° 当△ADE是等边三角形,∠DAE=∠BAC时,△ABD∽△CAE∽ ... ...