一、导数的几何意义与运算 1.此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. 例1 (1)已知函数f(x)=f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)等于( ) A. B. C. D. (2)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 反思感悟 (1)熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，求导时不要忘了对内层函数求导即可. (2)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异. 跟踪训练1 (1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1，1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数a的值为( ) A.-3 B.1 C.2 D.3 (2)设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=xln(2x-1)，则f'(1)= . 二、用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1，y=f(x)在x=-2处有极值. (1)求f(x)的解析式； (2)求y=f(x)在[-3，1]上的单调区间和最大值. 反思感悟 (1)利用导数判断函数的单调性是解决应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. (2)特别注意：①极值点是f'(x)的变号零点，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性；②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较端点值大小才能下结论. 跟踪训练2 已知函数f(x)=ln x-ax2+x，a∈R. (1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)令g(x)=f(x)-ax+1，求函数g(x)的极值. 三、与导数有关的综合性问题 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在解答题中，难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例3 设函数f(x)=ln x-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数. (1)若f(x)在(1，+∞)上单调递减，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围； (2)若g(x)在(-1，+∞)上单调递增，试求f(x)的零点个数. 反思感悟 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 跟踪训练3 已知函数f(x)=asin x-x+b(a，b均为正实数). (1)证明：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点； (2)设函数f(x)在x=处有极值，对于一切x∈不等式f(x)>sin x+cos x恒成立，求实数b的取值范围. 答案精析 例1 (1)D [根据题意， 知函数f(x)=， 则f'(x)= ==.] (2)B [∵f(x)=x4-2x3， ∴f'(x)=4 ... ...
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