4.3 常见相似三角形的模型 相似三角形的性质 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.10.25 第四章 图形的相似 §4.3 常见相似三角形的模型 相似三角形的性质 【学习目标】 1. 掌握相似三角形的性质的对应高，对应中线，对应角平分线的比存在的等量关系； 2. 进一步巩固三角形相似的判定定理，并能进行相应性质的推导，并能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算； 3. 通过计算相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，探究相似三角形的性质定理，发展学生数学运算与归纳概括能力。 【学习过程】 一、常见相似三角形的模型 1. 平截型 如图，，则称为“_____”的相似三角形，常见的有_____、_____。 类型 A字型 8字型 A字型 图形 2. 斜截型 如图，，则称为“_____”的相似三角形，常见的有_____、_____。 类型 斜A型（不共边） 斜A型（共边） 斜A型（燕尾型） 斜8型 图形 常用结论 3. 双垂直型（子母型） 如图，在Rt中，，则称为“_____”的相似三角形。 类型 双垂直型（子母型） 图形 （1）等面积原理：_____。 （2）射影定理 ①由_____，得_____，即_____； ②由_____，得_____，即_____； ③由_____，得_____，即_____。 4. 一线三等角型 如图，，则称为“_____”的相似三角形，常见的有_____、_____、_____。特别地，当为中点时，连接，此时有_____。 类型 一线三等锐角型 一线三等直角型 一线三等钝角型 图形 常用结论 特别地，当为中点时，、平分、。 特别地，当为中点时，平分。 5. 三平行型 如图，，则，，称为“_____”的相似三角形，它是结合了平截型中的所有模型的一种模型。 类型 三平行型 图形 常用结论 ； 6. 旋转型 如图，，，则，称为“_____”的相似三角形。 类型 旋转型 图形 7. 半角型 如图，。 在图1中，是等腰直角三角形，则，有； 在图2中，是等边三角形，则，有。 此时称为“_____”的相似三角形，常见的有_____、_____。 类型 含有的半角型 含有的半角型 图形 图2 例1 四边形中，，且，，分别是，的中点，与相交于点。 （1）求证：； （2）若，求。 例2 在中，，，于。求证：。 例3 如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于。 （1）求证：； （2）连接，如果，，，求的长。 例4 在正方形中，为边的中点，、分别为、边上的点，若，，，求点到的距离。 [识记理解1] 1. 如图，在中，，分别是，的中点，，交于点F。求证：。 2. 如图，在中，、的角平分线相交于点，过引的垂线，与边，分别相交于、。求证：。 3. 如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，，求的长。 二、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）与相似比的关系：_____。 2. 相似三角形的周长比与相似比的关系：_____。 3. 相似三角形的面积比与相似比的关系：_____。 例5 如图，在中，，，分别是边和上的点，且，，求的值。 例6 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的一半。已知，求平移的距离。 例7 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，求与的面积之比。 [识记理解2] 1. 如图，在中，是高，，分别交、、于点、、，，求的值。 2. 若，，边上的中线cm，的周长为20 cm，的面积是64 cm2，求： （1）边上的中线的长； （2）的周长； （3）的面积。 3. 如图，在中，，，垂足为，是的中点，的延长线与的延长线交于点。 （1）求证：； （2）如果，，求。 【知能提升】 一、选择题 1. 如图，在中，，D是上一点，于点，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如图，在中，，，平分，，那么在下列三角形中，与相似的三角形是（ ） A. B. 和 C. D. 不存在 第1题图 第2题图 3. 如图， 中，是延长线上一点，交于，交于，则图中所有相似三角形有（ ） A. 4对 B. 5对 C. ... ...