2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.08.09 第一章 特殊的平行四边形 §1.1 菱形的性质与判定 【学习目标】 1. 经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的定义，并探究归纳出菱形的性质； 2. 总结归纳菱形与平行四边形的关系，掌握菱形的判定方法，发展合情的推理能力； 3. 体会菱形的轴对称性，并能运用菱形的性质和判定解决计算与证明问题，进一步发展逻辑推理能力。 【学习过程】 一、菱形的定义与性质 1. 定义：菱形是一种特殊的_____，_____的平行四边形是菱形。 2. 性质 （1）边的性质：_____。 （2）角的性质：_____。 （3）对角线的性质：_____。 （4）对称性：菱形是_____图形，也是_____图形。 例1 如图，在菱形中，是边上一点，且。有下列结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④。若结论正确，请证明，不正确请说明理由。 例2 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求的度数。 例3 已知四边形是边长为2的菱形，，对角线与交于点，过点的直线交于点，交于点。 （1）求证：； （2）若，求的长。 [识记理解1] 1. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作，垂足为，求点到边的距离的长度。 2. 如图，菱形中，，于点，，连接，求的度数。 3. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接。若，求的度数。 4. 如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点。 （1）求证：； （2）若，求菱形的周长。 二、菱形的判定 1. 平行四边形判定方法 （1）边的关系：_____的平行四边形是菱形。 （2）对角线的关系：_____的平行四边形是菱形。 2. 四边形判定方法 （1）边的关系：_____的四边形是菱形。 （2）对角线的关系：_____的四边形是菱形。 例4 如图，在中，，于，平分，分别于、交于、，于。连接，求证：四边形是菱形。 例5 如图，在中，，分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点，，交于点。 （1）求证：； （2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由。 [识记理解2] 1. 如图，矩形的对角线相交于点，，。求证：四边形是菱形。 2. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，。 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长。 三、菱形性质与判定的综合应用 1. 面积问题（等面积原理）：菱形的面积既可以用_____的面积公式，也可以用_____求算。 2. 折叠问题（全等原理）：折叠前后的图形是_____的，是完全对称的。 3. 最值问题（对称原理） （1）线段和的最小值：做对称点后，连接后一般运用两点之间_____最短（线段之中_____最短定理）解决。 （2）动线段的最小值：运用转化和运动的思想，转换到一般模型中，如三角形的第三边长_____。 （3）利用菱形的对称性：菱形既是_____图形，也是_____图形。 例6 如图，在菱形中，，对角线。若过点作，垂足为，求的长。 例7 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形。若，求的长。 例8 如图，在对角线长分别为12和16的菱形中，、分别是边、的中点，是对角线上的任意一点，求的最小值。 例9 如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值。 [识记理解3] 1. 如图，已知菱形中，，，过线段上的一个动点（不与、重合）分别向直线、作垂线，垂足分别为、。 （1）求的长； （2）连接，当取得最小值时，求此时的长。 2. 如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，求的最小值。 【知能提升】 一、选择题 1. 已知四边形的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，得到的新四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是 ... ...
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