2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.09.14 第一章 特殊的平行四边形 §1.2 矩形的性质与判定 【学习目标】 1. 经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解矩形的定义，并探究归纳出矩形的性质； 2. 总结归纳矩形与平行四边形的关系，运用综合法掌握对矩形的判定，发展合情的推理能力； 3. 体会矩形的轴对称性，并能运用矩形的性质和判定解决计算与证明问题，进一步发展逻辑推理能力。 【学习过程】 一、矩形的定义与性质 1. 定义：矩形是一种特殊的_____，_____的平行四边形是矩形。 2. 性质 （1）边的性质：_____。 （2）角的性质：_____。 （3）对角线的性质：_____。 （4）对称性：矩形是_____图形，也是_____图形。 例1 如图，矩形两对角线交于点，，，求、的长及矩形的面积。 例2 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为。 （1）求证：； （2）若，，求的长。 例3 如图，点为矩形内一点，且。求证：。 [识记理解1] 1. 如图，矩形的周长为18 cm，是的中点，且，求矩形两邻边的长。 2. 如图，在矩形中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点。 （1）求证：； （2）连接，与相交于点，若△的面积为2，求矩形的面积。 3. 如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作分别交，于点，。 （1）求证：； （2）若，，求的长。 4. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，。求的长。 二、矩形的判定 1. 平行四边形判定方法 （1）角的关系：_____的平行四边形是矩形。 （2）对角线的关系：_____的平行四边形是矩形。 2. 四边形判定方法 （1）角的关系：_____的四边形是矩形。 例4 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、。 （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长。 例5 如图，等腰中，，、分别是边、上的中线，与相交于点，点，分别为线段和的中点。求证：四边形是矩形。 例6 如图，在中，，是△的一条角平分线，是△外角的平分线，，垂足为点。 （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； （3）线段与有怎样的关系？请写出你的结论，并证明。 [识记理解2] 1. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接。 （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形。 2. 如图，在四边形中，、相交于点，，，。 （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值。 3. 如图，直线与交于点，，分别是和的平分线，于点，于点。求证：四边形是矩形。 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接。过点作交的延长线于点，连接。求证：（1）；（2）四边形是矩形。 三、矩形性质与判定的综合应用 1. 折叠问题（全等原理）：折叠前后的图形是_____的，是完全对称的。 2. 动点问题 （1）在直角三角形中，注意特殊的角度和边，同时直角三角形斜边上的中点_____。 （2）利用矩形的对称性：矩形既是_____图形，也是_____图形。 例7 如图，四边形是矩形，把矩形沿折叠，点落在点处，与的交点为，连接。求证：（1）；（2）。 例8 如图，在矩形中，cm，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若cm（），则cm，cm，cm。 （1）当为何值时，点的运动停止； （2）点与点可能相遇吗？点与点呢？请通过计算说明理由； （3）当为何值时，以、Q、、为顶点的四边形是平行四边形？ 例9 如图，在中，为边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且。连接。 （1）与有什么数量关系？请说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由。 [识记理解3] 1. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合 ... ...
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