2.1.3 基本不等式的应用 [学习目标] 1.熟练掌握基本不等式的应用模型并会简单应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 一、基本不等式的应用模型 问题 你能写出基本不等式的几种变形吗 知识梳理 已知x,y都为正数,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值 ; (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值 . 简记为:积定和最小,和定积最大. 例1 (1)若m>0,n>0,mn=9,则m+n的最小值为 ( ) A.4 B.4 C.6 D.18 (2)已知x>0,y>0,且x+=4,则xy的最大值为 . 反思感悟 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值应注意以下几个方面:①配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 跟踪训练1 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 (2)已知a>0,b>0,且ab=2,则+的最小值为 . 二、基本不等式在生活中的最小(少)问题 例2 某高中即将举办一年一度的秋季运动会,高一某班级计划为班级入场式方队定制一张矩形宣传牌,该宣传牌含有大小相等的左、右两个矩形板块(如图中阴影部分),这两个板块上分别印制“奋”、“斗”两字,这两个板块的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两个板块之间的中缝空白的宽度为5 cm,怎样确定宣传牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形宣传牌面积最小 反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造定值,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)得出结论. 跟踪训练2 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时24元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式; (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 三、基本不等式在生活中的最大(多)问题 例3 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2023年的年促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少 反思感悟 利用不等式求最值,若不满足求最值的一正、二定、三相等的条件时,要配凑符号为正、和为定值或差为定值.注意有负号或分式时不等式符号的变化. 跟踪训练3 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,蔬菜的种植面积为S m2. (1)用a,b表示S; (2)a,b各为多少时,蔬菜的种植面积S最大 最大种植面积是多少 1.知识清单: (1)基本不等式的应用模型. (2)基本不等式在生活中的应用. 2.方法归纳:配凑法. 3.常见误区:生活中的变量有它自身的意义,容易忽略变量的取值范围. 1.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 2.已知a,b>0且ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为( ) A.4 B.6 C.2 D.8 3.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的 ... ...
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