习题课 基本不等式的综合问题 [学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能通过构造基本不等式求代数式的最值问题. 一、常数代换法求最值 例1 已知a>0,b>0,a+2b=1,求+的最小值. 反思感悟 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 跟踪训练1 已知x>0,y>0,x+8y=xy,求x+2y的最小值. 二、消元法、换元法求最值 例2 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值. 延伸探究 本例条件不变,求xy的最大值. 反思感悟 对含有多个变量的条件求最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 跟踪训练2 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为 . 三、基本不等式的综合应用 例3 (1)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7 (2)设a,b为正数,则,,,的大小关系是 . 反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数,转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得到参数的值或取值范围. 跟踪训练3 (1)已知0
Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P (2)若不等式≤a对一切正实数x都成立,则实数a的取值范围是 . 1.知识清单: (1)常数代换法. (2)消元法、换元法求最值. (3)基本不等式的综合应用. 2.方法归纳:消元法、换元法、配凑法. 3.常见误区:不等式变形时应注意等价变形,不能改变结构和取值条件,消元或换元时应注意变量的隐含范围. 1.已知00,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.已知x>1,且xy-y=x+3,则x+2y的最小值为 . 4.设正实数m,n,满足m+n=2,则的最小值为 ,则+的最大值为 . 答案精析 例1 解 因为a>0，b>0，a+2b=1， 所以+=(a+2b) =+=1+++2 ≥3+2=3+2. 当且仅当即时， 等号成立， 故+的最小值为3+2. 跟踪训练1 解 因为x>0，y>0，由x+8y=xy，两边同时除以xy， 可得+=1， 所以x+2y=(x+2y) =10++ ≥10+2=18， 当且仅当即时，等号成立， 所以x+2y的最小值为18. 例2 解 由x+2y+2xy=8， 可知y=， 因为x>0，y>0，所以00，b>0，所以a=>0， 因为b+1>0，所以b>2， 所以a+2b=+2b =+2(b-2)+4 =2(b-2)++5 ≥2+5=5+2， 当且仅当2(b-2)=， 即b=2+时等号成立. 所以a+2b的最小值为5+2. 例3 (1)B (2)≥≥≥ 解析 ∵a2+b2≥2ab， ∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2， ∴a2+b2≥， 即≥， ∴≥， 当且仅当a=b时等号成立， ∵≤=， 当且仅当a=b时等号成立， 又≥，当且仅当a=b时等号成立， 所以≥≥≥. 跟踪训练3 (1)B (2) 解析 a≥恒成立， 即a≥， ∵x>0，∴= ≤=， 当且仅当x=，即x=1时等号成立， ∴的最大值为， ∴a≥. 随堂演练 1.D 2.C 3.4+3 4.1 2(课件网) 第2章 <<< 基本不等式的综合问题 习题课 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.能通过构造基本不等式求代数式的最值问题. 学习目标 一、常数代换法求最值 二、消元法、换元法求 ... ... 