一、不等式及其性质 1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式,防止由于考虑不全面出现错误,有时也可结合特殊值法求解. 2.掌握不等式的性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 例1 (1)若a,b,c∈R,则下列说法正确的是( ) A.若a>b,则a2>b2 B.若c
D.若a>b,则a+c>b+c (2)已知x≠2,y≠-1,M=x2+y2-4x+2y,N=-5,则M与N的大小关系是( ) A.M>N B.Mb,则a>b B.若a>b,cb,则a3>b3 D.若a>b,则> (2)若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为 . 二、利用基本不等式求最值 1.基本不等式是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式及其应用,重点提升数学抽象和数学运算素养. 例2 (1)(-60,x+(x>-2)的最小值为6,则a= . 三、一元二次不等式的解法 1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3 若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求a的值; (2)求不等式>a+5的解集. 反思感悟 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点,也是一元二次方程的根. 跟踪训练3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 四、通过构造数学模型解决生活中的问题 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养. 例4 某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式; (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围. 反思感悟 解决实际问题的关注点 (1)审题要准,初步建模. (2)设出变量,列出函数关系式. (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 跟踪训练4 某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为400元/m,中间的一条隔壁建造单价为100元/m,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低 答案精析 例1 (1)D (2)A 跟踪训练1 (1)C [当c=0时， A选项不成立，为假命题； ∵c-d，又a>b， ∴a-c>b-d，故B选 ... ... 