一、求函数的定义域、值域 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0,偶次根式中被开方数大于或等于0等,由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子有意义的集合的交集;函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围,一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握集合的运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1 (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为( ) A. B. C. D.∪ (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2],则y=f(1-3x)的定义域为( ) A. B. C.[0,1] D. (3)函数f(x)=x+的值域是 . 反思感悟 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式:根式,根号下非负;分式,分母不为0;0次幂,底数不为0. (3)复合函数问题: ①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出; ②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 注意:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是x的范围. (4)求函数量值的方法 ①单调性法; ②图象法. 跟踪训练1 (1)函数y=+-的定义域为 . (2)函数y=的值域是 . 二、分段函数 1.分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式,主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题. 2.通过对分段函数的考查,提升学生的数学运算素养. 例2 已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域、值域; (2)求f(f(1)); (3)解不等式f(x+1)>. 跟踪训练2 (1)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知函数f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为 . 三、函数的性质 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上单调递增; (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0. 跟踪训练3 已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=. (1)求实数m和n的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值. 四、函数的应用 1.以现实生活为背景,解决生活中的成本最少、利润最高等问题,一般是通过构造一次函数、二次函数、分段函数等数学模型,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 2.通过构造数学模型解决实际问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养. 例4 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N+)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式; (2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大 最大年利润是多少 反思感悟 能够将实际问题转化为熟悉的函数模型,特别注意实际问题与自变量取值范围的联系. 跟踪训练4 某村充分利用自身资源,大力发展养殖业以增加收入.计划共投入80万元,全部用于甲、乙两个项目,要求每个项目至少要投入20万元.在对市场进行调研时,发现甲项目的收益y1与投入x(单位:万元)满足y1=乙项目的收益y2与投入x(单位:万元)满足y2=x+20. (1)当甲项目的投入为25万元时,求甲、乙两个项目的总收益; (2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时,总收益最大 答案精析 例1 (1)D (2)C (3) 解析 令t=， 则t≥0，x=， 则y=+t=(t2+2t)- =(t+1)2-1(t≥0)， 由函数y= ... ...
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