5.2.1 任意角三角函数的定义 [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义.2.掌握三角函数值在各象限的符号.3.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 一、用比值定义三角函数 问题1 初中我们学习过锐角的三角函数,正弦、余弦和正切,这三个三角函数分别是怎样规定的 问题2 之前学习了任意角,我们也把任意角放到了平面直角坐标系中,那么角的终边和单位圆是否有交点 交点唯一吗 知识梳理 1.任意角三角函数的定义如图,设α是一个任意角,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义: sin α= ,cos α= ,tan α= ,其中r= ,以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切.y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为 . 2.正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 y=sin α y=cos α y=tan α 例1 (1)已知角α的终边经过点,则sin α= ,cos α= ,tan α= . (2)利用定义求角的正弦、余弦和正切值. 反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=,cos α=,tan α=. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 跟踪训练1 (多选)若角α的终边经过点P(x,-3)且sin α=-,则x的值为( ) A.- B.-1 C.1 D. 二、三角函数值在各象限的符号 问题3 你能判断出三角函数值在各象限的符号吗 知识梳理 三角函数值在各象限的符号 口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 例2 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(多选)下列选项中,符号为负的是( ) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 反思感悟 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限:确定角α所在的象限. (2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断. 跟踪训练2 角α的终边经过点P(sin 95°,cos 95°),则角α是第 象限角. 三、三角函数线 问题4 当角α为第一象限角时,你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗 tan α=怎样表示 问题5 当角α为第二、三、四象限角时,如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢 tan α=怎样表示呢 知识梳理 三角函数线 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PD,垂足为D,过点A(1,0)作单位圆的切线x=1,如果tan α存在,设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.单位圆中的有向线段 , , 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sin α=DP,cos α=OD,tan α=AT. 例3 (1)作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. ①; ②-. (2)分别作出和的正弦线、余弦线和正切线,并比较sin 和sin ,cos 和cos ,tan 和tan 的大小. 反思感悟 作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于点T,即可得到正切线AT. 跟踪训练3 (1)作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. ①; ②-. (2)已知A是△ABC的一个内角,且tan A-≥0,则sin A的取值范围是( ) A. B. C. D. 1.知识清单: (1)用比值定 ... ...
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