5.2.2 同角三角函数的基本关系（课件 学案 练习 ，共3份）湘教版（2019）必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 [学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 一、利用同角三角函数的基本关系求值 问题1　观察下表,你能发现什么 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 问题2　若P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,则角α的三个三角函数值之间有什么联系 知识梳理 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α=　　; 商数关系:=　　　　　 . 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. 角度1　直接利用基本关系式求值 例1　已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 反思感悟　(1)已知sin α(或cos α)求tan α常用以下方式求解 (2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解. 角度2　利用弦切互化求值 例2　已知tan α=2. (1)求的值; (2)求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值. 反思感悟　已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法 (1)已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同除以cos α或cos2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的. (2)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值. 跟踪训练1　(1)已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值. (2)已知tan α=-4,求. 二、sin θ±cos θ型求值问题 例3　已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),求sin θ-cos θ的值. 反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; (sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ, 利用该公式,已知其中一个,能求另外二个,即“知一求二”. (2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值,要注意判断它们的符号. 跟踪训练2　已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　　. 三、利用同角三角函数的基本关系化简与证明 角度1　化简三角函数式 例4　化简: (1); (2)sin2αtan α++2sin αcos α. 反思感悟　利用同角三角函数基本关系化简的常用方法 (1)化切为弦,减少函数名称. (2)对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,再去掉根号. (3)对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以降幂化简. 角度2　三角恒等式的证明 例5　求证:=. 反思感悟　证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简. (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异. (4)变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等. (5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”. 跟踪训练3　(1)化简:+(1+tan2α)cos2α. (2)求证:=. 1.知识清单: (1)利用同角三角函数的基本关系求值. (2)sin θ±cos θ型求值问题. (3)利用同角三角函数的基本关系化简与证明. 2.方法归纳:由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区:忽视对角所在的象限进行分类讨论. 1.若α是第四象限角,tan α=-,则sin α等于(　　) A. B.- C. D.- 2.若tan α=2,则的值为(　　) A.0 B. C.1 D. 3.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于(　　) A. B.- C.- D. 4.若在△ABC中,sin A=,则A=　　　　. 答案精析 问题1　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1， 即sin2α+cos2α=1. 知识梳理 1　tan α　 例1　解　∵cos α=-<0， ∴α是第二或第三象限角. ①当α是第二象限角时，则 sin α= ==， tan α===-； ②当α是第三象限 ... ...