一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(1)两个基本关系式sin2α+cos2α=1及=tan α;(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有:(1)直接应用公式;(2)切化弦;(3)异角化同角;(4)特殊值与特殊角的三角函数互化;(5)通分、约分;(6)配方去根号. 3.求值一般包括:(1)给角求值;(2)给值求值;(3)给值求角. 4.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1 (1)已知tan α=,α∈,则sin α-cos α= . (2)已知sin α是方程2x2-x-1=0的根,α是第三象限角,则·tan2(π-α)= . 反思感悟 任意角的三角函数的定义及诱导公式是高考考点,应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上的点的位置无关,应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)三角函数的诱导公式. 跟踪训练1 在平面直角坐标系中,角α以x轴的非负半轴为始边,它的终边与单位圆交于第二象限内的点P(m,n). (1)若n=,求的值; (2)若sin α+cos α=,求点P的坐标. 二、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换. 3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算素养. 例2 (1)函数y=sin的图象的对称轴为 ,对称中心为 . (2)已知函数f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,则实数a的取值范围是 . 反思感悟 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论三角函数的性质,高考中三角函数是必考内容之一,着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度:(1)三角函数的性质;(2)三角函数图象的变换;(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;(4)函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质. 跟踪训练2 已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值. 三、三角函数的图象变换问题 1.由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移,这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响,若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩. 2.掌握三角函数图象变换的规则,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3 已知函数f(x)=2sin-在x=处取得最值,其中ω∈(0,2). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间. 反思感悟 函数y=Asin(ωx+φ)+h的解题技巧 对于y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 跟踪训练3 将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,所得函数图象的一条对称轴是 ( ) A.直线x= B.直线x= C.直线x=π D.直线x= 四、三角函数模型的简单应用 1.三角函数模型的简单应用体现在两个方面:一是会用三角函数解决简单的实际问题;二是能把实际问题转化成数学问题,抽象出三角函数模型,再利用三角函数的有关知 ... ...
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