2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.11.18 第一章 直角三角形的边角关系 §1.3 锐角三角函数的应用 【学习目标】 1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决； 2. 能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明； 3. 经历探索测高的过程，让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程，并发展了学生的动手能力。 【学习过程】 一、利用方位角解决实际问题 例1 如图所示，海中有一个小岛，该岛四周10 n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西的处。之后，货轮继续往东航行，货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ [识记理解1] 1. 如图所示，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以4 n mile/h的速度匀速航行，同时乙货船从港沿西北方向匀速航行，2 h后两货船相遇在点处，则乙货船每小时航行多少海里？（用根号表示） 2. 小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛处观看小亮与爸爸在湖中划船（如下左图所示）。小船从处出发，沿北偏东方向划行200 m到处，接着向正南方向划行一段时间到处。在处小亮观测到妈妈所在的处在北偏西的方向上，这时小亮与妈妈相距多远（精确到1 m）？（参考数据：，，，，） 二、利用仰角和俯角解决实际问题 例2 如图所示，小明想测量塔的高度。他在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为，那么该塔有多高？（小明的眼睛距离地面的距离约为1.7 m，结果精确到1 m） [识记理解2] 1. 如图所示，在小山的东侧点有一个热气球，由于受西风的影响，以30 m/min的速度沿与地面成角的方向飞行，25 min后到达处，此时热气球上的人测得小山西侧点的俯角为，则小山东西两侧，两点间的距离为多少米？（无需保留根号，参考数据：，） 三、利用倾斜角解决实际问题 例3 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由减至，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01 m，参考数据：，，，） [识记理解3] 1. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米？ 四、利用三角函数测高 例4 在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度。如图，已知李明距假山的水平距离为12 m，他的眼睛距地面的高度为1.6 m，李明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为多少？ [识记理解4] 1. 某市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在处用高2 m的测角仪，测得楼顶端的仰角为，然后向楼前进30 m到达，又测得楼顶端的仰角为，楼的高度是多少？ 【知能提升】 一、选择题 1. 渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了12 n mile到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（ ） A. 6 n mile B. n mile C. n mile D. n mile 2. 如图所示，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为30°，朝物体方向前进20 m，到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为（ ） A.m B. 10 m C. m D. m 第2题图 第3题图 3. 如图所示，某飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，此时飞行高度m，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为（ ） A. 1200 m B. m C. m D. 2400 m 4. 如图所示，港口在观测站的正东方向，km，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处 ... ...
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