2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 [学习目标]　1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念.2.会求直线的方向向量与平面的法向量. 一、空间点的位置向量 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 知识梳理 点的位置向量 在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示称为点P的位置向量. 二、直线的方向向量 问题2　如何确定一条直线在空间的位置？ 知识梳理 1.一般地，如果非零向量v与直线l　　　　，就称v为l的方向向量. 2.已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置. 例1　(1)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为　　　　　　　　. (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过 A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) (2)从点A(2，-1，7)沿向量a=(8，9，-12)的方向取线段长||=34，则点B的坐标为(　　) A.(18，17，-17) B.(-14，-19，17) C. D. 三、平面的法向量 问题3　如何确定一个平面在空间的位置？ 知识梳理 1.如果非零向量n所在直线与平面α　　　　，则称n为平面α的法向量. 2.给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面是完全确定的. 例2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 反思感悟　求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 跟踪训练2　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 1.知识清单： (1)空间点的位置向量. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性. 1.若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) 2.(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是(　　) A. B. C. D. 3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) 4.在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　　，直线 BC1 的一个方向向量为　　　　　　　　　　. 答案精析 问题1　在空间中，我们取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 问题2　空间任意直线的位置由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识梳理 1.平行 例1　(1)(1，1，1)(答案不唯一) 解析　由题意知D(0，0，0)， B1(1，1，1)， 所以=(1，1，1)， 即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). (2)A　[∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为 m=(2，-1，3)， 故设=km， ∴解得 ∴y-z=0.] 跟踪训练1　(1)AB (2)A　[设点B的坐标 ... ...