2.4.2 向量与垂直 向量与平行（课件 学案 练习，共6份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.4.2　空间线面位置关系的判定 第1课时　向量与垂直 [学习目标]　1.理解并掌握三垂线定理及逆定理.2.能够利用直线的方向向量与平面的法向量判定并证明空间中的线线、线面、面面的垂直关系. 一、直线与直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 知识梳理 直线与直线垂直的判定 (1)向量法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0. (2)三垂线定理及其逆定理法 ①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的　　　　垂直，则它和这条斜线也垂直. ②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的　　　　也垂直. 例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥PA. 反思感悟　(1)利用坐标法证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)利用基向量证明两直线垂直的基本步骤：选取基向量→两直线的方向向量用基向量表示→计算出两直线的方向向量的数量积为0→由方向向量垂直得到两直线垂直. (3)三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题： ①从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”，其逆定理的条件是“和斜线垂直”； ②从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面直线垂直，证明异面直线垂直的问题，逆定理正好相反. 跟踪训练1　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ 知识梳理 直线与平面垂直的判定 (1)向量法 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l⊥α 　　　　　　　　　　　 k∈R，使得　　　　　　　　　. (2)判定定理 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直. 例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD. 反思感悟　证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论. (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论. (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 知识梳理 平面与平面垂直的判定 (1)向量法：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　. (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 例3　如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练3　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD. 证明：平面PQC⊥平面DCQ. 1 ... ...