2.4.3 向量与夹角（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.4.3　向量与夹角 [学习目标]　1.会用向量法求线线角、线面角、面面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 一、直线与直线的夹角 问题1　如何用空间向量求两条异面直线所成的角？ 知识梳理 设两条异面直线a与b所成的角为θ它们的方向向量分别是v1，v2，设v1与v2所成的角为φ，则cos θ=　　　　=|cos〈v1，v2〉|=　　　　　　. 例1　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成角的大小. 反思感悟　求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 二、直线与平面所成的角 问题2　如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 知识梳理 当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n所成的角为φ，则sin θ=　　　　　=|cos〈v，n〉|=　　　　　　　　　　　　. 例2　如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点. (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 反思感悟　利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ= . 跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F分别为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值. 三、两个平面所成的角 知识梳理 1.两平面所成的角：两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为　　　　　　　　. 2.两平面所成角的计算：设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉=φ，则cos θ=　　　　=|cos〈n1，n2〉|. 例3　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD； (2)若∠CBA=60°，求平面C1OB1与平面OB1D所成角的余弦值. 反思感悟　求两平面所成的角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面所成的角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面所成的角为〈n1，n2〉或π-〈n1，n2〉. 跟踪训练3　如图所示，在几何体S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值. 1.知识清单： (1)直线与直线的夹角. (2)直线与平面所成的角. (3)两个平面所成的角. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间两条直线所成的角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围. 1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉=-则l与α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上=(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n=(2，1，2)，平面ABC与平面ABO所成的角为θ，则cos θ=　　　　. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　. 答案精析 问题1　两条异面直线所成角的问 ... ...