3.2.4 离散型随机变量的方差（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

3.2.4　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义.2.能计算简单随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求方差. 一、离散型随机变量的方差、标准差 问题1　A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ 知识梳理 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 由数学期望的公式可知D(X)=E{[X-E(X)]2}=　　　　　　　　　　　　　　　，则称D(X)为随机变量X的　　　　，并称为X的　　　　　　　.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差. 例1　已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差. 反思感悟　求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列. (2)由分布列求出数学期望，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差. 跟踪训练1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、方差及标准差. 二、两点分布与二项分布的方差 知识梳理 1.若X~B(1，p)，则D(X)=　　　　　　(其中p为成功概率). 2.若X~B(n，p)，则D(X)=　　　　　　. 例2　国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为且每个人答题相互不受影响. (1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率； (2)用随机变量ξ表示三名同学能够成为宣传员的人数，求ξ的数学期望与方差. 反思感悟　两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布. (2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 跟踪训练2　(1)某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为　　　　. (2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)=3，D(X)=则n=　　　　　，p=　　　　　. 三、方差的性质及综合应用 问题2　若随机变量X的方差为D(X)，Y=aX+b(a，b为常数，且a≠0)，你能推导出D(X)与D(Y)的关系吗？ 知识梳理 1.X为离散型随机变量，a，b为常数，若Y=aX+b，则D(Y)=　　　　　　. 2.D(c)=　　　　(其中c为常数). 例3　(1)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)=且Y=3X-2，则=　　　　. (2)为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. ①求X，Y的分布列； ②求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 反思感悟　(1)求随机变量Y=aX+b方差的方法 ①先求Y的分布列，再求其数学期望，最后求方差. ②应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解. (2)数学期望、方差在决策中的作用 ①数学期望：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，数学期望越大，平均水平越高. ②方差：方差反映了离散型 ... ...