[学习目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 一、数学归纳法的理解 问题1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 问题2 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 知识梳理 一般地，在证明一个与正整数n有关的命题时，可按下列步骤进行： (1)证明_____时命题成立； (2)假设_____(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明_____时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从_____开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 例1 (1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 (2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上_____． 反思感悟 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 跟踪训练1 对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，左边＝，右边1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，那么当n＝k＋1时， ＝ ＜ ＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、利用数学归纳法证明等式 例2 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)． 跟踪训练2 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 三、归纳—猜想—证明 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法加以证明． 反思感悟———归纳—猜想—证明”的解题步骤 跟踪训练3 设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…. (1)求a2，a3，a4； (2)猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法加以证明． 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)用数学归纳法证明等式． (3)“归纳—猜想—证明”问题． 2．方法归纳：数学归纳法． 3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错． 1．用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加( ) A. B．π C. D．2π 2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( ) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 3．以下是一个证明的全部过程：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立．因此等式对于任何n∈N＋都成立．则用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为_____． 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，等式为_____. *§1.4 数学归纳法 问题1 不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确． 问题2 要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下． 知识梳理 (1)n＝n0(n0∈N＋) (2)n＝k n＝k＋1 n0 例1 (1)C [当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所 ... ...
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