一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2 l1∥l2. (2)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1 l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理能力和素养． 例1 (1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝_____. (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是_____． 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直 已知两直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练1 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为_____． (2)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题的学习，可以培养学生的数学运算的核心素养． 例2 (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( ) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 反思感悟 三种距离的计算公式 跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A．2 B. C．2 D. (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d
r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明直线l与圆C总相交； (2)m取何值时，直线l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． 反思感悟 涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程． 四、圆与圆的位置关系 1．圆与圆位置关系的判断方法：一般利用圆心距与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． 反思感悟 两圆的公共弦问题 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1 ... ... 