第八章 3基本事实与定理 练习（含答案） 2024-2025学年数学鲁教版（五四制）七年级下册

公理与定理 1．通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理． 2．经过证明的真命题叫做定理． 基本事实与定理的联系：都是真命题．区别：基本事实不需证明，定理必须证明． 证明一个命题的主要步骤 证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出．其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步地推理，最后证实结论(求证)的过程． 常用的基本事实 1．两点确定一条直线． 2．两点之间线段最短． 3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 6．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 7．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 8．三边分别相等的两个三角形全等． 区分基本事实与定理 典例1 下列命题中，哪些是基本事实？哪些是定理？ (1)同角的补角相等；(2)对顶角相等； (3)两点之间线段最短； (4)同位角相等，两直线平行． 基本事实是不需要证明的真命题，而定理是经过证明以后的真命题．根据它们的定义和常用公理区分即可． 解：(3)(4)是基本事实，(1)(2)是定理． 变式 下列说法正确的是①③．(填序号) ①任何基本事实和定理都是真命题 ②基本事实和定理都需要验证以后才可使用 ③三边分别相等的两个三角形全等属于基本事实 命题的证明 典例2 求证：一组邻补角的角平分线互相垂直． 首先要根据命题，正确地作出图形，然后再根据命题和图形写出已知、求证和证明过程． 解：已知：如图所示，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 典例2图 证明：∵OE平分∠AOB， OF平分∠BOC(已知)， ∴∠1＝∠AOB， ∠2＝∠BOC(角平分线的定义)． 又∵∠AOB＋∠BOC＝180°(已知)， ∴∠EOF＝∠1＋∠2＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°(等式的性质)． ∴OE⊥OF(垂直的定义)． 变式 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人的创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系———几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程． 命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 变式图 已知： ． 求证： ． 证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC， 连接DC. 在△DBC与△ACB中， ∴△DBC≌△ACB( )， ∴∠BDC＝∠CAB( )． 又∵∠BDC＞∠CAB. 与∠BDC＝∠CAB相矛盾， ∴假设不成立，即AB＝AC. 解：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB. 求证：AB＝AC. 证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，连接DC. 变式图 在△DBC与△ACB中， ∴△DBC≌△ACB(SAS)， ∴∠BDC＝∠CAB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠BDC＞∠CAB， 与∠BDC＝∠CAB矛盾， ∴假设不成立，即AB＝AC. 故答案为：如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB；AB＝AC；BD＝CA；∠B＝∠ACB；BC＝CB；SAS；全等三角形的对应角相等． 1．如图，过点A画直线l的平行线，能画( C ) 第1题图 A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 2．[2022·十堰]如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是( B ) 第2题图 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 3．如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交，小明觉得直线c也一定和b相交．小明的判断正确吗？请说明理由． 第3题图 解：小明的判断正确， 理由： ... ...