类型一 “猪蹄”型(含锯齿型) 1．如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF＋∠D＝66°，∠B－∠D＝28°，则∠BED＝80°. 第1题图 2．[2023春·鞍山期中]如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∠BAD＝80°，∠BCD＝n°，则∠BED的度数为40°＋n°．(用含n的式子表示) 第2题图 3．已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB，CD之间． (1)如图1，连接GM，HM.求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M，Q，使得∠AGM＝∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 第3题图 解：(1)如图1，过点M作MN∥AB， 第3题图 ∴MN∥AB∥CD， ∴∠AGM＝∠GMN，∠CHM＝∠HMN， ∵∠GMH＝∠GMN＋∠HMN， ∴∠GMH＝∠AGM＋∠CHM； (2)∠GQH＝180°－∠M，理由： 如图2，过点M作MN∥AB， 第3题图 由(1)，得∠M＝∠AGM＋∠CHM， ∵HM平分∠GHC， ∴∠CHM＝∠GHM， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴∠M＝∠HGQ＋∠GHM， ∵∠HGQ＋∠GHM＋∠GQH＝180°， ∴∠GQH＝180°－∠M. 类型二 “铅笔”型 4．如图，AB∥ED，∠B＋∠C＋∠D＝( B ) 第4题图 A．180° B．360° C．540° D．270° 5．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝270°． 第5题图 6．[2023春·东莞期中]如图，已知AB∥CD. 第6题图 (1)如图1所示，∠1＋∠2＝_____； (2)如图2所示，∠1＋∠2＋∠3＝_____，并写出求解过程； (3)如图3所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_____； (4)如图4所示，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝_____． 解：(1)180°； (2)如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1＋∠AEF＝180°， ∠FEC＋∠3＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°； 第6题图 (3)如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 同理(2)，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×3＝540°， 故答案为：540°； (4)由(2)和(3)，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝(n－1)×180°， 故答案为：(n－1)×180°. 类型三 “鸡翅”型和“骨折”型 7．[2024·华蓥市模拟]如图，已知AB∥DE，∠ABC＝150°，∠CDE＝70°，则∠BCD的度数为( B ) 第7题图 A．30° B．40° C．35° D．45° 8．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为57°． 第8题图 9．[2023春·河源期中]已知直线l1∥l2, A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线CD上有一点P. (1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由； (2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？(请直接写出答案，不需要证明) 第9题图 解：(1)∠PAC＋∠PBD＝∠APB. 过点P作PE∥l1，如图1所示． 第9题图 ∵ PE∥l1，l1∥l2， ∴ PE∥l1∥l2， ∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE， ∵∠APB＝∠APE＋∠BPE， ∴∠PAC＋∠PBD＝∠APB； (2)结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD－∠PAC＝∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC－∠PBD＝∠APB. ①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE∥l1. 第9题图 ∵ PE∥l1，l1∥l2， ∴ PE∥l1∥l2， ∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE， ∵∠APB＝∠BPE－∠APE， ∴∠PBD－∠PAC＝∠APB； ②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE∥l1. 第9题图 ∵PE∥l1，l1∥l2， ∴PE∥l1∥l2， ∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE， ∵∠APB＝∠APE－∠BPE， ∴∠PAC－∠PBD＝∠APB. 10．(1)如图1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数； 第10题图 (2)如图2，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数； 第10题图 (3)如图3，P为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，G ... ...
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