专题训练五 等腰三角形中的分类讨论思想 （含答案） 2024-2025学年数学鲁教版（五四制）七年级下册

类型一 腰和底不确定，引出讨论 1．若m，n满足|3－m|＋(n－6)2＝0，则以m，n为边的等腰三角形的周长为 ． 2．[2022·苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 类型二 顶角和底角不确定，引出讨论 3．若等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是( ) A．80° B．20° C．80°或者20° D．80°且20° 4．[武威中考]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ． 5．如果等腰三角形的两个内角之比为1∶2，那么这个三角形的三个内角各是多少度？ 类型三 高的位置不确定，引出讨论 6．[2023春·东源县期末]已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为( ) A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为多少？ 类型四 由腰上的中线引出讨论 8．等腰三角形ABC的底边BC长为10 cm，一腰上的中线BD把其周长分为差为6 cm的两部分，则其腰长为( ) A．16 cm B．4 cm C．4 cm或16 cm D．2 cm或8 cm 9．在等腰△ABC中，AB＝AC，腰长为12 cm，一腰上的中线BD把其周长分为差为4 cm的两部分，则其底边长为( ) A．8 cm B．16 cm C．8 cm或12 cm D．8 cm或16 cm 类型五 腰上的垂直平分线位置不确定，引出讨论 10．在△ABC中，AB＝AC，AC边的垂直平分线DE与AC相交于点D，与直线AB相交于点E，且与直线AB所夹的锐角为40°，则顶角∠A的度数为 .类型一 腰和底不确定，引出讨论 1．若m，n满足|3－m|＋(n－6)2＝0，则以m，n为边的等腰三角形的周长为15． 2．[2022·苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6． 类型二 顶角和底角不确定，引出讨论 3．若等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是( C ) A．80° B．20° C．80°或者20° D．80°且20° 4．[武威中考]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或． 5．如果等腰三角形的两个内角之比为1∶2，那么这个三角形的三个内角各是多少度？ 解：由于角的身份不确定，需分两种情况讨论： ①若底角和顶角之比为1∶2， 设底角度数为β，那么顶角度数为2β， 则β＋β＋2β＝180°， ∴β＝45°，此时2β＝90°， ∴三角形的三个内角分别是45°，45°，90°； ②若顶角和底角之比为1∶2， 设顶角度数为β，那么底角度数为2β， 则β＋2β＋2β＝180°， ∴β＝36°，此时2β＝72°， ∴三角形的三个内角分别是36°，72°，72°. 综上所述，三角形的三个内角分别是45°，45°，90°或36°，72°，72°. 类型三 高的位置不确定，引出讨论 6．[2023春·东源县期末]已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为( A ) A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为多少？ 解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示． ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＝90°－∠ACD＝ 90°－50°＝40°. ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B＝∠ACB＝×(180°－40°)＝70°； 第7题图 ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示． ∵CD是△ABC的高， ∴∠BDC＝90°. ∴∠CAD＝ 90°－∠ACD＝90°－50°＝40°. ∴∠BAC＝180°－∠CAD＝ 180°－ 40°＝140°. ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B＝∠ACB＝×(180°－140°)＝20°. 综上所述，这个等 ... ...