题型01 5类不等式解题技巧 （权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、 普通型糖水不等式与对数型糖水不等式） 技法01 权方和不等式的应用及解题技巧 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用. 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 （2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 1．求的最大值为 2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．设，，若，则的最小值为 . 3．已知正实数，满足，则的最小值为 . 4．已知正数，，满足，则的最小值为 5．已知，求的最小值为 技法02 柯西不等式的应用及解题技巧 若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用. 1.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 3.扩展： 已知x，y，z满足，则的最小值为 . 1．用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 2．已知、、，. 则的最小值是 . 1．函数的最小值为 ． 2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ） A．10 B．4 C．2 D． 3．设.则函数的最小值是 . 4．设非负实数、、满足．则的最小值为 ． 技法03 基本不等式链的应用及解题技巧 本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查. 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. （2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 技法04 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: （2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a
”或”=”） 3． (用“”或“”填空) 1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小 技法05 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值， ... ... 