2025年高考数学答题技巧与答题模板(全国通用)题型027类平面向量解题技巧(学生版+解析)

题型02 7类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线、等值线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、投影法求范围与最值、向量矩形大法的应用、范围与最值综合问题） 技法01 爪子定理的应用及解题技巧 “爪子定理”来源于平面向量三点共线定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解平面向量中两个基底的系数问题，需同学们重点学习掌握. “爪子定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 （全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A． B． C． D． 1.（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）在中，点、在边上，，设，，则（ ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ） A． B． C． D．1 4．如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 技法02 系数和（等和线、等值线）的应用及解题技巧 近年来，在高考和模拟考试中，涉及“系数和（等和线、等值线）定理”的题目频繁出现。学生们在解答这类问题时，常常需要通过建立坐标系或利用角度与数量积的方法来处理。然而，由于解题思路不够清晰和解题过程的复杂性，得分率往往不高。相比之下，向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算。这种数形结合的思想不仅得到了有效体现，而且为解决相关问题提供了新的思路，大家可以学以致用。 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 （全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 1．边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 1．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时， ；的最大值为 ． 2．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 . 3．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 通过应用向量的极化恒等式，我们可以迅速将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式。这一方法彰显了向量的几何特性，并使得迅速解决（秒杀）向量数量积问题成为现实。极化恒等式的巧妙之处在于它构建了向量数量积与几何长度（数量）之间的联系，巧妙地将向量学、几何学和代数学结合起来。对于那些不共起点或不共终点的向量问题，我们可以通过平移转化法将其等价转换为共起点或共 ... ...