2024-2025学年湖南省长沙市平高松雅湖高级中学高二（下）开学 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.在数列中，若，，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，，则( ) A. B. C. D. 4.若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为，则球的表面积是( ) A. B. C. D. 5.已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 6.函数在上的值域为( ) A. B. C. D. 7.过点作：的切线，，切点分别为，，则( ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则( ) A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 10.已知等比数列的公比不为，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是( ) A. B. 数列为等比数列 C. D. 11.已知，，是抛物线：上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，的中点为，则( ) A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为 C. 当时，直线的斜率为 D. 当，，三点共线时，点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用，，这三个数字组成一个三位数每个数字只能用一次，则这个三位数是偶数的概率为_____． 13.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过，且与的右支交于，两点，若，则的离心率为_____． 14.如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点若，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，求的面积的最大值． 16.本小题分 在直三棱柱中，是的中点，，，． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 已知正项数列的前项和为，且满足，． 证明：为等差数列． 求的值和的通项公式． 若数列满足，其前项和为，证明：． 18.本小题分 已知椭圆：的短轴长为，且离心率为． 求的方程． 过点作斜率不为的直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点． 证明：为定值． 求面积的取值范围． 19.本小题分 在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”． 若，判断是否为“和数列”，是否为“和数列”，并说明理由． 在正项数列中，，且，． 证明：可能是等比数列； 若为等比数列，则不是“和数列”． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为， 由正弦定理可得：， 即， 在中，， 所以，而， 可得； ，由余弦定理可得，当且仅时取等号， 可得， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 16.证明：连接，交于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以四边形为矩形，所以为的中点， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解：过点在平面内作， 因为三棱柱为直三棱柱，所以，，两两互相垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 又，，， 则，，， ，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，， 故为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则解得，令，得， 故为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17.证明：由，可得， 两式相减可得：， 则，即． ，即， 故数列是公差为的等差数列； 解：由，，得， 由，取，得，得， ； 证明：， ， ， 得：， ． 18.解：设的半焦距为，则 ， 故C的方程为． 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立方程组 ... ...
