4.2.1 等差数列的概念 [学习目标] 1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列． 一、等差数列的概念 问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…. ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 知识梳理 一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项减去它的前一项所得的_____都等于_____，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的_____，公差通常用字母_____表示． 例1 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9，…； ②9,6,3,0，－3，…； ③1,3,4,5,6，…； ④7,7,7,7,7，…； ⑤1，，，，，…. 反思感悟 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列． 跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( ) A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16 C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2 二、等差数列中的基本计算 例2 (1)若，a，成等差数列，则a＝_____. (2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值． 反思感悟 若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素． 跟踪训练2 若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值． 三、等差中项及应用 知识梳理 如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫作a和b的等差中项． 例3 实数4＋2与4－2的等差中项为_____． 反思感悟 若b是a与c的等差中项，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则b是a与c的等差中项． 跟踪训练3 设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_____． 1．知识清单： (1)等差数列的概念． (2)等差数列中的基本运算． (3)等差中项及其应用． 2．方法归纳：定义法、列方程组法． 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( ) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 2．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( ) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( ) A．26 B．29 C．39 D．52 4．已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝_____. 4.2.1 等差数列的概念 问题 对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②，有270－275＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 知识梳理 二 差 同一个常数 公差 d 例1 解 ①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 跟踪训练1 ABC [由等差数列的定义得， A项公差d＝0，故是等差数列； B项公差d＝3，故是等差数列； C项公差d＝，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 例2 (1) 解析 由等差数列的定义可知a－＝－a，解得a＝. (2)解 由等差数列的定义可知 解得 跟踪训练2 解 由等差数列的定义可知 解得 例3 4 解析 ... ...
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