4.2.2 等差数列的通项公式 [学习目标] 1.掌握等差数列的通项公式， 体会等差数列与一元一次函数的关系，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 2.掌握等差中项的概念及其应用.3.掌握等差数列判断与证明的方法.4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 一、等差数列的通项公式及应用 问题 请根据等差数列的定义写出它的递推公式，并推导它的通项公式． 知识梳理 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_____. 例1 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧 等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． 跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝_____. (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝_____. (3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝_____. 二、等差数列的判定与证明 例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 反思感悟 判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列． 跟踪训练2 数列满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.证明：数列是等差数列． 三、等差数列的实际应用 例3 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 反思感悟 (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 跟踪训练3 一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，则这架飞机起飞所用的时间为____秒． 1．知识清单： (1)等差数列的通项公式及应用． (2)等差数列的判定与证明． (3)等差数列的实际应用． 2．方法归纳：定义法、累加法、公式法． 3．常见误区：实际问题中项数判断错误． 1．在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10等于( ) A．25 B．28 C．31 D．34 2．2 024是以2为首项，2为公差的等差数列的( ) A．第1 010项 B．第1 011项 C．第1 012项 D．第2 022项 3．设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则数列{an}的通项公式为( ) A．－3n＋1 B．3n－1 C．－2n＋9 D．2n＋1 4．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费_____元． 4.2.2 等差数列的通项公式 问题 设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 当n＝1时，同样成立， 故an＝a1＋(n－1)d. 知识梳理 a1＋(n－1)d 例1 解 (1)由题意知 解得 (2)设等差数列的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. 跟踪训练 ... ...
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