4.2.3等差数列的前n项和 等差数列前n项和的性质及应用（课件+学案+练习，共6份） 苏教版（2019）选择性必修第一册

4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 [学习目标]　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 一、等差数列前n项和公式及应用 问题1　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了结果，那么如何求1＋2＋3＋…＋n呢？ 问题2　一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 知识梳理 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝_____ Sn＝_____ 例1　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 二、利用前n项和表达式判断等差数列 问题3　等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 例2　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 延伸探究　若数列的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列．若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 1．知识清单： (1)等差数列前n项和公式及应用． (2)利用前n项和表达式判断等差数列． 2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法． 3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋ B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　) A．18 B．27 C．36 D．45 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　) A．1 B. C．2 D．3 4．数列的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝_____. 第1课时　等差数列的前n项和 问题1　将1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n倒序为n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，然后将两式相加得到n 个相同的数(即(1＋n))，从而把不同数的求和转化为n个相同的数的求和，即(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)＝n(n＋1)，∴1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝. 问题2　倒序相加法． 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 知识梳理 　na1＋d 例1　解　(1) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 跟踪训练1　解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝＝＝340. (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n ... ...