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课件网) 第三章 圆 3.3 垂径定理 北师大版 数学 九年级 下册 学习目标 1. 理解垂径定理的推导。 2.利用垂径定理解决实际问题。 情景导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 情景导入 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m 核心知识点一： 垂径定理及其推论 O O O 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 探索新知 根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？ 并尝试证明？ AM=A’M ⌒ ⌒ AC＝ A’C ， AD＝ A’Ｄ ⌒ ⌒ 已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。 求证：AM=A’M, ⌒ ⌒ AC = A’C, ⌒ ⌒ AD =A’D. O A D C A' M 探索新知 证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点. O A D C 过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'. A' M 在△OAA'中， ∵OA=OA'， ∴△OAA'是等腰三角形. 又∵AA'垂直CD ∴MA=MA' 即CD是AA'的垂直平分线. 探索新知 从上面的证明过程中我们可以知道： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D ) ) ) ) 即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA' ) ) 探索新知 归纳总结 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 用几何语言表述为： 如图，在⊙O中， 探索新知 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 探索新知 练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可———直径（半径），垂直于弦 探索新知 如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M （1）图是轴对称图形吗 如果是其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O 探索新知 连接OA、OB， 易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC ∴AC=BC，AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB ⌒ ⌒ C D A B M O 探索新知 归纳总结 M C D 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 符号语言：在⊙O中， ∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB， AC=BC，AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探索新知 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 归纳总结 探索新知 例：如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. E O D C F └ 探索新知 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. ● O C D E F ┗ 探索新知 试一试：1 400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）. 探索新知 解：如图， OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. AB = 37.4， CD = 7.2 探索新知 当堂检测 1.如图所示,一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m,水面宽AB为8 m,则拱桥的半径OC为( ) A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m B ... ...
