(
课件网) 第三章 圆 3.4.2 圆周角和圆心角的关系2 北师大版 数学 九年级 下册 学习目标 1.掌握圆周角定理推论。 2.理解圆内接四边形定义及性质。 情景导入 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理推论： 圆周角定理: 同弧或等弧所对的圆周角相等. 情景导入 小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？ 核心知识点一： 直径所对应的圆周角 如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，观察它所对的圆周角有什么特点？ 你是怎么发现的？ 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90° 结论1：直径所对的圆周角是直角 =90° 理由： ∵BC为直径 ∴∠BOC=180° ∴ 探索新知 观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ 解：弦BC是直径，连接OC、OB ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径 结论2：90°的圆周角所对的弦是直径 思考：这两个结论用什么定理证明？ 圆周角定理 探索新知 归纳总结 圆周角定理推论 直径所对的圆周角是直角； 几何语言： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 90°的圆周角所对的弦是直径 几何语言： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径 探索新知 练一练：如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中， sin ∠ABC＝ ， ∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30° ＝10× ＝5(cm)． ∴AC的长为5 cm. 解： 探索新知 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 归纳总结 探索新知 核心知识点二： 圆内接四边形及其性质 （1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ 解：∠BAD与∠BCD互补. ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. A B C O D 探索新知 （2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系 还成立吗？为什么？ A B C O D 1 2 ∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD， （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）， ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立. 如图8，连接OB，OD. 探索新知 （3）观察图9，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆.. A B C O D A B C O D 探索新知 A B C O D （4）观察，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）. A B C O D 探索新知 圆内接四边形外角的性质 思考：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个 外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 探索新知 证明：∠A=∠DCE. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180° （圆内角四边形的对角互补）. ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠A=∠DCE. A B C O D E 探索新知 当堂检测 1.如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,∠A=30°,则∠B的度为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° D 当堂检测 2.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,M为边CB延长线上一点.若∠AOC=98°,则∠ABM的度数是( ) A.42° B.49° C.51° D.59° B 当堂检测 C 当堂检测 C 当堂检测 5.四边形ABCD内接于O,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则m,n满足的条件是( ) A.5m=4n B. 4m=5n C.m+n=9 D.m+n=180° 6.如图所示,四边形ABCD内 ... ...
