2024-2025学年吉林省四平第一高级中学高一（下）期初 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.下列函数，在其定义域内既满足又满足的是( ) A. B. C. D. 3.已知，为正实数，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.在中，，则是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5.取整函数不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 6.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.若，则( ) A. B. C. D. 8.若，都是正数，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，则下列等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 10.下列关于平面向量的说法错误的是( ) A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则不是共线向量 D. 若，，则 11.定义在上的函数，对任意的，，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是( ) A. 关于直线对称 B. 在上单调递增 C. D. 若，则的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知幂函数在上单调递减，则实数的值为_____． 13.已知，求 _____． 14.若函数，则不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 若关于的不等式的解集为，求，的值； 当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 16.本小题分 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，是直线上的一动点，作，且使与直线交于点设． 写出面积关于角的函数解析式； 求的最小值． 17.本小题分 已知定义在上的偶函数，当时，，且． 求的值； 求函数的解析式； 解不等式：． 18.本小题分 已知函数， 求函数的最小正周期和单调递减区间； 求函数在上的最值； 方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围． 19.本小题分 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． 利用上述结论，求的值； 化简；并利用此结果求的值； 已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：若关于的不等式的解集为， 则，是方程的两根， 所以，， 解得，或，； 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是． 16.解：根据题可得，在直角三角形中，，则， 同理，在直角三角形中可得， 则在直角三角形中， 即． 由得， 要求的最小值，即求的最大值，即当时，的最大值为， 因此． 17.解：因为是定义在上的偶函数，且， 所以，即， 解得． 当时，， 设，则，则， 故； 由是偶函数，等价于，即， 得，得，解得或， 故的解集是． 18.解：， 则函数的最小正周期为， 令，， 则，， 故的单调递减区间为，； 当时，， 故， 所以函数在上的最大值为，最小值为； 若方程在上有且只有一个解， 则与在上有且只有一个交点， 因为，在上单调递增，在上单调递减，，，， 所以或， 所以或， 故的范围为或． 19.解：因为，所以， 所以， 因为，，即，即， 因为，解得； ， ； 证明：因为，所以可令， 由，可得， 由题可得：，因为，所以，所以或或， 即方程的三个根分别为， 又因为，所以， 所以 ． 第1页，共1页 ... ...
