§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响 课标要求 1.掌握y=sin x与y=sin ωx图象间的变换关系. 2.掌握函数y=sin ωx的性质. 【引入】 在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的形式.不难发现影响此类函数的图象和性质的参数有三个,即A,ω,φ.为了方便研究ω对其图象和性质的影响,令A=1,φ=0,则函数化为y=sin ωx,这节课来探究ω对y=sin ωx的图象的影响. 一、ω对y=sin ωx的图象的影响 探究1 用“五点(画图)法”作出y=sin 2x的图象. _____ _____ _____ 探究2 比较y=sin x,y=sin 2x的图象,指出y=sin 2x的周期是多少 与y=sin x的周期比较有何变化 由y=sin x的图象怎样变换得到y=sin 2x的图象. _____ _____ _____ 【知识梳理】 ω对y=sin ωx的图象的影响: (1)对于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin ω. 根据周期函数的定义,T= 是函数y=sin ωx的最小正周期. 通常称周期的倒数f=为 . (2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标 到原来的 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的. 温馨提示 (1)ω决定了函数y=sin ωx的周期和频率,也决定了函数y=sin ωx图象的形状. (2)ω主导横向伸缩变换,也叫周期变换. (3)ω对函数y=cos ωx有同样的影响. 例1 (链接教材P43例1)用五点(画图)法作函数y=sin x的简图,并指出这个函数的最小正周期、频率. _____ _____ _____ 思维升华 五点(画图)法作图关键是列表,一般有下面两种列表方法 (1)分别令ωx=0,,π,,2π,再求出对应的x,这体现了整体代换思想. (2)取ωx0=0,得x0=0,再把x0作为五点中第一个点的横坐标,依次递加个周期,就可得到其余四个点的横坐标. 训练1 (链接教材P44T3(2))用“五点(画图)法”作出函数y=sinx在一个周期上的图象,并指出这个函数的最小正周期、频率. _____ _____ _____ 二、图象上横坐标的伸缩变化问题 例2 (1)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为 . (2)函数y=sin x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=sin ωx,则ω的值为 ( ) A.2 B. _____ _____ _____ 思维升华 一般地,把函数y=f(x)图象上各点的横坐标变化到原来的ω倍(纵坐标不变)后所得函数的解析式为y=f. 训练2 (1)把y=sin (纵坐标不变)得到的解析式是 . (2)将函数y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)而得到的函数解析式为 . 三、函数y=sin ωx的性质及应用 例3 (1)函数y=sin 2x的图象的对称轴方程为 ,对称中心为 ,奇偶性为 . (2)函数y=sinx的单调递增区间为 ;单调递减区间为 . _____ _____ _____ 思维升华 关于函数y=sin ωx的性质 (1)最小正周期T=; (2)解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时,可利用整体法,令u=ωx,结合三角函数的性质求解; (3)为奇函数. 训练3 已知函数f(x)=sin x. (1)求f(x)的周期、频率;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)的对称轴. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.函数y=sin的频率是 ( ) A.6 B. 2.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为 ( ) A.2 B. 3.把正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)得到函数 的图象. 4.函数y=sinx取得最大值时对应的x的集合为 . 6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的 影响 探究1 提示 (1)列表: 2x 0 π 2π x 0 π y 0 1 0 -1 0 (2)描点: 在平面直角坐标系中描出点(0,0),,,, ... ...
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