§2 从位移的合成到向量的加减法 2.1 向量的加法 课标要求 1.理解并掌握向量加法的概念,了解加法的物理意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律. 【引入】 我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷,那么,向量是否也能像数一样进行运算呢 一、向量加法的概念及向量加法的平行四边形法则 探究1 两个向量相加就是两个向量的模相加吗 _____ _____ _____ 探究2 物体在天车的作用下,同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移,实际位移的合成. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.向量加法的定义 求 的运算,称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段为邻边作 ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则. 温馨提示 (1)a,b,a+b同起点. (2)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. (3)两向量的和仍为向量,实数与向量不能进行加法运算. 例1 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). _____ _____ _____ 思维升华 (1)向量加法的平行四边形法则适用条件:两不共线向量求和. (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个向量使之共起点. ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形. ③平行四边形中,与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和. 训练1 (1)已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于 ( ) A.△ABC的边AB上 B.△ABC的边BC上 C.△ABC的内部 D.△ABC的外部 (2)已知||=3,||=3,∠AOB=90°,则||= . 二、向量加法的三角形法则 探究3 在如图所示的平行四边形ABCD中,是否成立 _____ _____ _____ _____ 知识梳理】 1.如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则. 2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)首尾相接; (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和 推广 (1)若A1,A2,A3,…,An为平面n边形的顶点,则; (2)若三角形ABC的边BC的中点为D,则() 3.平面向量加法的三角不等式 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,其中当a,b不共线时,根据三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,故有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.当a,b共线且同向时,右边等号成立;当a,b共线且反向时,左边等号成立;当a,b有一个为零向量时,左、右两边等号均成立. 温馨提示 (1)适用于所有向量求和.(2)a+(-a)=(-a)+a=0. 例2 (链接教材P85例1)(1)如图①所示,求作向量a+b; (2)如图②所示,求作向量a+b+c. _____ _____ _____ 思维升华 用三角形法则求作和向量,关键是抓住“首尾相接”,和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点,平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中,第一个向量的起点可任意选取,可在某一个向量上,也可在其他位置.两向量共线时,三角形法则仍适用,平行四边形法则不适用. 训练2 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,求证:四边形ABCD为平行四边形.(用向量的方法证明) _____ _____ _____ 三、向量加法的运算律 探究4 实数的加法运算满足结合律,即对任意a,b,c∈R,都有(a+b)+c=a+(b+c).那么向量的加法也满足结合律吗 如何检验 _____ _____ 探究5 实数的加法运算满足交换律,即对任意a,b∈R,都有a+b=b+a,那么向量的加法也满足交换律吗 如何检验 _____ _____ 【知识梳理】 交换律 a+b= ... ...
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