4.2 平面向量及运算的坐标表示 课标要求 1.掌握平面向量的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.掌握两个向量和、差、数乘向量的坐标运算. 【引入】 著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”向量是数形结合的典范.一方面,向量的有向线段表示法是用平面几何知识解决向量问题的基础,为灵活运用几何知识及图形性质解决向量问题提供了保证;另一方面,向量的符号语言和坐标语言又很好地加强了向量与实数之间的联系.本节课我们来学习向量的坐标表示. 一、平面向量的坐标表示 探究1 上节我们已经学面向量基本定理,即在平面内一组基{e1,e2}下,该平面内任意一个向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.那么在基{e1,e2}下平面内的向量a与有序实数对(λ1,λ2)是否具有一一对应的关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y). 2.点的坐标与向量坐标间的关系 在平面直角坐标系中,点P的位置被它的位置向量所唯一确定,设点P的坐标为(x,y),容易看出=xi+yj=(x,y),即点P的位置向量的坐标(x,y)也就是点P的坐标;反之,点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标. 温馨提示 (1)几个特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (2)相等向量的坐标:两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b x1=x2且y1=y2. (3)在平面直角坐标系中,以坐标原点为起点的向量(即位置向量)的坐标就是该向量终点的坐标. (4)点的坐标可写作P(x,y),向量的坐标应写作a=(x,y),不能写成a(x,y). 例1 (链接教材P101例3)如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°, =a,=b.四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量的坐标. _____ _____ _____ 思维升华 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算. 训练1 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,分别求出它们的坐标. _____ _____ _____ 二、平面向量运算的坐标表示 探究2 在基{i,j}下,a=i+3j,b=2i+5j, (1)计算a+b,a-b,2a; (2)若{i,j}是标准正交基,则a+b,a-b,2a的坐标是什么 (3)若{i,j}是标准正交基,c=3i+9j,则a与c是否共线 a与c坐标之间存在何种关系 _____ _____ _____ 探究3 如图,在平面直角坐标系中,设点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)写出的坐标; (2)若M是AB的中点,试求出点M的坐标. _____ _____ _____ 【知识梳理】 两个向量和与差的坐标分别等于 的和与差;实数与向量数乘的坐标等于 的乘积;一个向量的坐标等于其 的坐标减去 的坐标.即(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b= ;λa=λ(x1,y1)= ,其中λ∈R. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则= . 温馨提示 若点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y), 则此公式为线段AB的中点坐标公式. 例2 (1)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于点F.若,则x+y= ( ) A.1 B. (2)设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标是 . _____ _____ _____ 思维升华 (1)进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出 ... ...
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