§5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 课标要求 1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量. 3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明. 【引入】 前面我们学习了向量的加、减以及数乘运算,类比数的运算,向量能否相乘 如果能,那么向量的乘法该怎样定义 让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧! 一、向量的数量积的定义 探究1 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,且力F与位移s的夹角为θ,那么力F所做的功怎么表示 _____ _____ _____ 探究2 功是数量还是向量 它由哪些量确定 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.非零向量a,b的夹角记为
或θ(0°≤θ≤180°), 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b. 即a·b= = . 规定零向量与任一向量的数量积为 . 2.当0°≤<90°时,a·b 0; 当=90°时,a·b 0; 当90°<≤180°时,a·b 0; 当=0°时,a·b= ; 当=180°时,a·b= . 温馨提示 (1)两向量的数量积,其结果是数量,其符号由夹角的余弦值决定. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,注意a·b不能表示为a×b或ab. 例1 已知正三角形ABC的边长为2,求: (1);(2);(3). _____ _____ _____ 思维升华 定义法求平面向量的数量积 (1)若给出了两向量模及夹角,直接代入定义式计算; (2)计算平面图形中的向量的数量积,关键是把两向量平移到公共起点,以便准确确定两向量的夹角. 训练1 (1)(链接教材P109练习T3)已知在△ABC中,<0,则△ABC的形状为 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 (2)在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,CA=CB=,则= . 二、投影向量和投影数量 探究3 在探究1的实例中,把F分解为与位移s同方向的分力F1和与s垂直的分力F2(如图). (1)写出分力F1,F2的表达式(用F及θ表示); (2)计算F1所做的功. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.投影向量: 如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A',得到a在b上的投影γ=,γ称为 . 2.投影数量: 称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的投影数量,可以表示为 . 3.数量积a·b的几何意义: b的长度|b|与a在b方向上的投影数量 的乘积,或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量 的乘积. 温馨提示 对于两非零向量a,b (1)a在b上的投影向量,可能与b同向,可能反向,也可能为0,它的方向取决于θ角的范围. (2)向量a在向量b上的投影向量为acos,向量b在向量a上的投影向量为bcos. 例2 (1)如图,网格纸中小正方形的边长均为1,向量a如图所示,若从A,B,C,D中任选两个点作为向量b的起点与终点,则a·b的最大值为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 (2)(链接教材P109例2)已知向量a,b,|b|=6,a·b=-9,则a在b方向上的投影数量为 . _____ _____ _____ 思维升华 a在b上的投影向量为|a|cos θ=|a|×·b, b在a上的投影向量为|b|cos θ=|b|×·a. 训练2 设非零向量a和b,它们的夹角为θ. (1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求a在b方向上的投影数量和a与b的数量积; (2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求b在a方向上的投影数量和夹角θ. _____ _____ _____ 三、数量积的运算律 探究4 对任意的向量a,b,c和实数λ,下列等式: (1)a·b=b·a; (2) λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c是否成立 并说明理由. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.数量积的运算律 对任意的向量a,b,c和实数λ: (1)交换律:a·b= ; (2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b= ; (3)关于加法的分配律:(a+b)·c= ... ... 