5.3 利用数量积计算长度与角度 课标要求 1.进一步熟悉向量数量积的定义及其坐标表示. 2.会利用向量数量积解决有关的长度与夹角等问题. 【引入】 向量的数量积是研究几何图形度量和位置关系的有力工具,主要涉及长度、夹角、平行、垂直等几何问题. 一、向量长度的计算 例1 (1)(链接教材P111例5)已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为 . (2)已知向量a=(1,0),b=,θ∈,则|a+b|的取值范围是 . _____ _____ _____ 思维升华 向量模长的最值与范围问题的求解策略 (1)根据|a|=将其转化为有关量的函数,利用函数的性质求最值或范围. (2)利用向量数量积的定义或其几何意义,结合图形找到角的范围,进而确定向量模的最值或范围. 训练1 在如图所示的平面直角坐标系中,已知A(1,0),||=1,且∠AOC=,其中O为坐标原点.设点D为线段OA上的动点,求||的最小值. _____ _____ _____ 二、向量夹角的计算 例2 (1)已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则实数t= . (2)已知a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角θ为锐角,则实数λ的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2)∪ B. C. D. _____ _____ _____ 思维升华 求两向量夹角的注意点 (1)两向量夹角的范围是[0,π]. (2)两向量夹角余弦值的公式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则cos
=,选用定义式还是坐标形式,要根据所给条件而定. 训练2 (1)已知向量a=(2cos φ,2sin φ),φ∈,b=(0,-1),则a与b的夹角为 ( ) A. D.φ (2)同一平面上的三个单位向量a,b,c,两两夹角都是,则a-b与a+c的夹角是 ( ) A. 三、平面几何中的长度与夹角的综合问题 例3 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC. 求:(1)AD的长; (2)∠DAC的大小. _____ _____ _____ 思维升华 用向量法解决平面几何问题 根据平面图形的特征:(1)若适合建立坐标系时,建立后用向量的坐标表示解决. (2)若不具备建系条件时,用基向量思想求解. 训练3 在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足||,如图所示,设=a,=b. (1)用a,b表示; (2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE 若存在,确定点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在平行四边形ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2|等于 ( ) A.5 2.已知向量a=(cos θ,1),向量b=(3,0),则|2a-b|的最大值和最小值分别是 ( ) A.4,0 B.4,2 C.29,2 D., 3.已知三点A(1,2),B(0,1),C(-2,5),则三角形的形状为 三角形. 4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC的中点,则cos∠BDC= . 5.3 利用数量积计算长度与角度 例1 (1)- (2) [(1)∵a+tb=(2+t,1+2t), ∴|a+tb|==. ∴当t=-时,|a+tb|有最小值. (2)∵a=(1,0), b==(cos θ,cos θ), ∴a+b=(1+cos θ,cos θ), ∵θ∈, ∴-1≤cos θ≤, ∴|a+b|==, 因此,|a+b|的取值范围是.] 训练1 解 设D(t,0)(0≤t≤1), 由题意可得C, 所以, 所以|(0≤t≤1), 所以当t=时,|.] 例2 (1)1 (2)A [(1)因为a=(4,-3),b=(2,1), 所以a+tb=(2t+4,t-3), 所以(a+tb)·b=5t+5. 又|a+tb|= =,|b|=, 且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos 45°, 所以5t+5=, 整理得t2+2t-3=0, 解得t=1或t=-3, 经检验知当t=-3时,不成立,故t=1. (2)因为a与b的夹角θ为锐角, 所以cos θ>0且cos θ≠1, 即a·b>0,且a与b的方向不同, 即a·b=1-2λ>0,且a≠mb(m>0), 即1×λ≠-2×1, 解得λ<且λ≠-2, 所以实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪.] 训练2 (1)A (2)D [(1)设a与b的夹角为θ, 则cos θ==-sin φ. ∵φ∈,θ∈[0,π], ∴-sin φ=cos,其中, ∴θ=-φ. (2)由题意可得a·b=|a||b|cos, a·c=|a||c|cos, b·c=|b||c|cos, 所以|a-b|=,|a+c|=1, 所以(a-b)·(a+c)=a2+a·c-a·b-b·c=1-. 设a-b与a+c的夹角为θ, 则cos θ=, 又0≤θ ... ... 