第二课时 正弦定理 课标要求 1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数. 【引入】 古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种相关数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想知道某处河面的宽度(如图),但又不可能去河对岸直接测量,那么如何得到河面的宽度呢 古埃及人可以通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,就可以求解出河面的宽度CD,这就运用到了我们今天要学习的正弦定理. 一、正弦定理 探究1 在Rt△ABC中,=2R(R为△ABC的外接圆的半径),是否成立 _____ _____ _____ 探究2 如何证明在锐角三角形或钝角三角形中=2R成立 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即= = =2R(R为△ABC外接圆的半径). 2.正弦定理的常见变形 (1)a= ,b= ,c= (R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A= ,sin B= ,sin C= (R为△ABC外接圆的半径). (3)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=. (4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c= . (5)= . (6)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 温馨提示 (1)利用变形(1)(2)可实现三角形的边角互化. (2)在△ABC中,A>B sin A>sin B a>b. 角度1 已知两角及任意一边解三角形 例1 在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4, (1)求A,a;(2)求△ABC的外接圆的直径. _____ _____ _____ 思维升华 已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 训练1 (1)在△ABC中,A=105°,B=45°,AC=2,则AB= ( ) A. (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于 ( ) A.1∶∶2 B.1∶2∶3 C.2∶∶1 D.3∶2∶1 角度2 已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求B,C. _____ _____ _____ 迁移 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值 _____ _____ _____ 思维升华 已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角.注意讨论该角是否可能有两个值. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边.另外,还能运用余弦定理解此类三角形. 训练2 (1)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若a=,b=,B=,则A= ( ) A. C. (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= . 二、三角形解的个数的判断 探究3 从例2和训练2中我们发现已知三角形两边及一边的对角.解三角形时有时有一个解,有时有两个解,那么还有可能出现无解的情况吗 试画图说明各种情形. _____ _____ _____ 【知识梳理】 在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的情况,一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍.具体解的情况如下表: A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A
b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中若A为锐角,则当a