6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 课标要求 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 【引入】 向量理论的发展有着深刻的几何背景.源头最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值,不能直接表达位置、角度和运动,利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此,他提出了一个“新代数”,其中几何实体可以用符号来表示,并且这些符号可以直接进行运算,它不需要大量的乘法,不需要添加令人困惑的太多的点和线.这就是向量. 一、向量在几何证明中的应用 例1 (1)已知ABCD是平行四边形,求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. (2)(链接教材P126例15)已知D,E,F分别为△ABC三边BC,AC,AB的中点.求证:AD,CF,BE相交于一点. _____ _____ _____ 迁移 在本例(1)中,再增加一个条件:∠DAB=45°,试证明AC2·BD2=AB4+AD4. _____ _____ _____ 思维升华 (1)向量在几何证明中的应用 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 证明线段平行或点共线问题,以及相似问题 a∥b a=λb(λ∈R,b≠0) x1y2-x2y1=0,a=(x1,y1),b=(x2,y2) 证明线段垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线是否垂直等 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0,a=(x1,y1),b=(x2,y2) 求角问题,如求三角形或四边形的内角或两直线的夹角 cos θ=(a,b的夹角为θ) cos θ=, a=(x1,y1),b=(x2,y2) 求线段的长度或证明线段相等 |a|= |a|=,a=(x,y)或AB=|, A(x1,y1),B(x2,y2) (2)注意根据题目条件选用基向量法和坐标法. 训练1 (1)(链接教材P126例16)如图,点O是 ABCD两条对角线的交点,点E,F分别在边CD,AB上,且=m(m>0).求证:点E,O,F在同一直线上. (2)如图,在 ABCD中,点E,F分别是AD和DC边的中点,BE,BF分别交AC于点R,T.试证明R,T把AC三等分. _____ _____ _____ 二、向量的线性运算在物理中的应用 例2 设平面上作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,|F1|=1 N,|F2|=2 N,F1和F2的夹角为.求的大小. _____ _____ _____ 思维升华 向量的线性运算在物理中的应用 问题类型 涉及知识 补充说明 力学问题 向量的线性运算 力的合成与分解就是向量的加减法 加速度、速度、位移问题 向量的线性运算 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算 动量问题 向量的数乘运算 动量涉及物体的质量m,物体运动的速度v 训练2 (链接教材P127例17)一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中的最大航速为4 km/h,问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达对岸B码头 用时多少 _____ _____ _____ 三、向量的数量积在物理中的应用 例3 (链接教材P128例19)如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°; |F2|=4 N,方向为北偏东60°; |F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功. _____ _____ _____ 思维升华 物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积. 训练3 如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则下滑到最下端时,斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重力对物体m所做的功为 J(g=9.8 m/s2). 【课堂达标】 1.已知点A(-2,-3),B(2,1),C(0,1),则下列结论正确的是 ( ) A.A,B,C三点共线 B. C.A,B,C是锐角三角形的顶点 D.A,B,C是钝角三角形的顶点 2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ( ) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为 . 4.如图,在平行四边形ABCD中, ... ...
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