2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期初态考试数学试题（含答案）

2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期初态考试数学试题 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（） A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C. 一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 2.若直线：ax＋4y－2＝0与直线：2x－5y＋b＝0垂直于点(1，c)，则a＋b＋c＝( ) A. 2 B. 4 C. －2 D. －4 3.要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（） A. 24 B. 72 C. 144 D. 288 4.如图,某电子元件由A,B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,B,C三种部件不能正常工作的概率分别为,,,各个部件是否正常工作相互独立,则该电子元件能正常工作的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是 . 6.若直线与直线平行，则 . 7.若事件与事件是独立的，，，则 . 8.已知圆C直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 9.若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 10.将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 . 11.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 12.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为 . 13.设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含的代数式表示）附参考公式： 14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动，设，若，则四面体体积的最大值为 ． 15.设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 16.一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动－步.设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 . 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为1． （Ⅰ）求实数a和n的值； （Ⅱ）求展开式中系数最小的项． 18.(本小题12分) 已知圆，点，点， (1)若直线，与圆相交于、两点，且，求直线的方程， (2)在圆上是否存在点，使？若存在求出点的个数，若不存在，说明理由. 19.(本小题12分) 已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示. (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若点满足. （i）平面，求的值； （ii）若与平面所成角为，求的最大值. 20.(本小题12分) 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段 ... ...