2.1 两角和与差的余弦公式及其应用（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019）必修 第二册 第四章

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 课标要求　1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法推导出公式的主要步骤. 3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算. 【引入】 前面第一章中,我们已学习过诱导公式,其实质是轴线角与任意角α的和与差的三角函数问题,那么对任意两个α、β的和或差的三角函数又会怎样呢 这节课我们来学习两角和与差的余弦及其应用. 一、两角和与差的余弦公式 探究1 如图,设角α,β的终边与单位圆的交点分别为A,B. (1)试用α,β的三角函数写出向量,的坐标,并写出的坐标表达式; (2)根据向量数量积的定义写出的定义式; (3)由(1)中的坐标式和(2)中的的定义式,你能推出什么结论 当α≤β时,此结论是否成立 _____ _____ _____ 探究2 在探究1所得结论中,把β换成-β还成立吗 _____ _____ _____ 【知识梳理】 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 余弦公式 Cα-β cos(α-β)= 　　　 α,β∈R 两角和的 余弦公式 Cα+β cos(α+β)= 　　　 α,β∈R 温馨提示　(1)Cα-β,Cα+β对任意角α,β∈R均成立,正、余弦的诱导公式是其特殊情形. (2)特征cos(α±β)=余×余 正×正. (3)公式中的α,β,既可以是一个角,也可以是几个角的组合. 例1 求下列各式的值: (1)cos; (2)cos. _____ _____ _____ 思维升华　本例是给角求值类型 (1)把一个角分解成两个特殊角的和或差. (2)注意公式的运用和公式的结构特征. 训练1 求下列各式的值: (1)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; (2)cos 15°-cos 75°. _____ _____ _____ 二、给值求值 例2 (1)已知第四象限角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值为 (　　) A. (2)若sin α+sin β=1-,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值为 (　　) A. D.1 _____ _____ _____ 思维升华　给值求值的解题策略 由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: ①α=(α-β)+β; ②α=; ③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β). 训练2 (1)已知,cos(β-α)=,sin(β+α)=-,则cos 2α=　　　　. (2)已知cos α-2cos β=-,sin α-2sin β=,则cos(α-β)=　　　　. 三、给值求角 例3 已知cos α=,cos(α+β)=-,0<α<,0<β<.求: (1)sin(α+β)的值; (2)角β的大小. _____ _____ _____ 思维升华　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 　训练3 已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.cos 165°等于 (　　) A. C.- 2.cos 80°·cos 35°+sin 80°·cos 55°的值是 (　　) A. 3.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值为　　　　. 4.已知A,B均为钝角且sin A=,sin B=,则A+B的大小为　　　　. 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 探究1　提示　(1)=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),=cos αcos β+sin αsin β. (2),>=cos(α-β). (3)cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β,当α≤β时,此结论仍成立,因为余弦函数为偶函数,cos(α-β)=cos(β-α). 探究2　提示　成立,即cos(α+β) =cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 知识梳理 cos αcos β+sin αsin β　cos αcos β-sin αsin β 例1　解　(1)cos =-cos=- =-=-. (2)原式=cos =cos=cos =cos. 训练1　解　(1)原式=sin(270°-25°)·sin(90°+35°)+sin(180°-25°)·sin 35° =-cos 25°·cos 35°+sin 25°·sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (2)cos 15°-cos 75° =cos(45°-30 ... ...