第二课时 两角和与差的正切公式及其应用 课标要求 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 【引入】 前面两节课我们学习了两角和与差的余弦公式和正弦公式,在此基础上,今天来学习两角和与差的正切公式. 一、两角和与差的正切公式 探究1 试用tan α,tan β表示tan(α+β),并指出结论成立的条件. _____ _____ _____ 探究2 试用tan α,tan β表示tan(α-β),并指出结论成立的条件. _____ _____ _____ 【知识梳理】 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正切公式 tan(α+β) = Tα+β α,β,α+β≠kπ +(k∈Z) 两角差的 正切公式 tan(α-β) = Tα-β α,β,α-β≠kπ +(k∈Z) 温馨提示 (1)对公式Tα+β:左端有意义需要α+β≠kπ+(k∈Z),右端有意义需要α,β,α+β≠kπ+(k∈Z); (2)对公式Tα-β:左端有意义需要α-β≠kπ+(k∈Z),右端有意义需要α,β,α-β≠kπ+(k∈Z); (3)公式的符号变化简记为:“分子同,分母反”. 例1 (1)(链接教材P156练习T5)tan 105°= ; (2)= . _____ _____ _____ 思维升华 利用公式求角,主要有两个基本类型 (1)把非特殊角转化为特殊角,正用两角和或差的正切公式; (2)注意特殊角的三角函数,通过转化或变形使式子符合公式的结构特征,逆用两角和或差的正切公式. 训练1 计算下列各式: (1);(2). _____ _____ _____ 二、给值求值 例2 (1)若cos θ=-,且θ为第三象限角,则tan(θ+)的值等于 ( ) A. C.-7 D.7 (2)tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= ( ) A. _____ _____ _____ 思维升华 解此类问题关键是用已知角表示所求角,正用两角和与差的正切公式求值. 训练2 (1)若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为 . (2)设tan(α+β)=,tan(β-,则tan(α+)的值是 . 三、给值求角 例3 (1)已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为 ( ) A. (2)已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不同的根,且α∈(0,),β∈(,π),则α+β= . _____ _____ _____ 思维升华 当题目条件出现正切时,一般需先计算所求角的正切值,若所求角的范围的区间长度不超过π,可直接判定角的值;若区间长度超过π,应注意缩小角的范围. 训练3 已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. _____ _____ _____ 四、两角和与差的正切公式的变形 探究3 已知A+B=,如何证明tan A+tan B+. _____ _____ _____ 【知识梳理】 (1)T(α+β)的变形: tan α+tan β= . tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= . 1-tan αtan β= ; (2)T(α-β)的变形: tan α-tan β= . tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= . 1+tan αtan β= . 温馨提示 变形分两个角度:一是化分式为整式,二是分式间的变化. 例4 (1)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为 ( ) A.16 B.8 C.4 D.12 (2)= . _____ _____ _____ 思维升华 两角和与差的正切公式的变形应用主要有两个基本类型: (1)利用tan α±tan β代入; (2)把所给等式恒等变形为公式形式. 训练4 (1)tan 18°+tan 12°·tan 18°的值是 ( ) A. C.0 D.1 (2)若(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 . 【课堂达标】 1.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( ) A. 2.在△ABC中,tan A=,cos B=,则tan C= ( ) A.-1 B.1 C. D.-2 3.(链接教材P156练习T6)= . 4.tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°= . 第二课时 两角和与差的正切公式 ... ...
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