2.4 积化和差与和差化积公式 课标要求 1.理解根据公式Sα±β,Cα±β推导出积化和差与和差化积公式. 2.了解积化和差与和差化积公式的应用. 【引入】 和差化积公式最早出现在法国数学家韦达(1540~1603)写的三角学著作《标准数学》中,他还发现我们熟知的韦达定理.韦达不仅是代数学家,还是三角学家,更难得的是他能用三角知识求解代数方程.这节课我们来学习积化和差与和差化积公式. 一、积化和差公式 探究1 利用公式Cα±β探究,能用cos(α±β)表示cos αcos β及sin αsin β吗 _____ _____ _____ 探究2 利用公式Sα±β探究,能用sin(α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗 _____ _____ _____ 【知识梳理】 cos αcos β= ; sin αsin β= ; sin αcos β= ; cos αsin β= . 温馨提示 (1)积化和差公式中的“积”与“和差”都是指三角函数值之间的关系,并不是指角之间的关系. (2)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半(注意符号),异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半.等式左边为单角 α,β,等式右边为它们的和差角. (3)对任意α,β∈R,公式都成立. 例1 把下列各式化为和差形式: (1)sin αsin 3α; (2)cos(α+β)cos(α-β); (3)sin. _____ _____ _____ 思维升华 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘以常数的形式,所以使用积化和差公式可以达到降次的效果. 训练1 (链接教材P160例8)求下列各式的值: (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°; (2)sin 80°cos 40°-sin 40°; (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°. _____ _____ _____ 二、和差化积公式 探究3 在积化和差公式中,令,β=,则得到什么样的关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 sin x+sin y= ; sin x-sin y= ; cos x+cos y= ; cos x-cos y= . 温馨提示 (1)同名函数的和或差才可化积;余弦的和或差化为同名函数之积;正弦的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角α与β,等式右边为的形式. (2)对任意x,y∈R,公式均成立. 例2 (链接教材P161例10)把下列各式化为积的形式: (1)sin 104°-sin 16°; (2)cos; (3)sin 20°+cos 10°. _____ _____ _____ 思维升华 在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可使用,若是异名,则必须用诱导公式化为同名. 训练2 (1)化简的结果为 ( ) A.tan α B.tan 2α C. (2)若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为 ( ) A.2 B. 三、利用互化公式研究函数的性质 例3 (1)函数f(x)=sin是 ( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 (2)函数y=sin上的最小值为 ( ) A.- _____ _____ _____ 思维升华 利用和差化积与积化和差可以把函数化为一种三角函数,然后研究函数的性质. 训练3 (1)函数y=的最小正周期为 . (2)函数f(x)=4sin xsin的最大值为 . 【课堂达标】 1.sin 37.5°cos 7.5°的值为 ( ) A. 2.有下列关系式:①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ;②cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ;③sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ;④cos 5θ+cos 3θ=2cos 4θcos θ,其中正确的等式个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.cos 40°-cos 80°-sin 20°= . 4.y=sin 2xsin 的单调递增区间是 . 2.4 积化和差与和差化积公式 探究1 提示 能.由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, 运用方程思想得, cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 探究2 提示 能.由sin ... ...
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