§3 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 课标要求 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 【引入】 乘法是加法的简便运算,如2α=α+α,前面我们学习过两角和的正弦、余弦及正切公式,那么,是否可以从这些公式得出二倍角的公式呢 一、二倍角公式 探究1 如何由两角和的正弦、余弦及正切公式推导出二倍角公式 _____ _____ _____ 探究2 对于cos 2α=cos2α-sin2α,能否只用cos α或者只用sin α表示cos 2α _____ _____ _____ 探究3 对于公式tan 2α=,使左端有意义的α的范围是什么 使右端有意义的α的范围是什么 _____ _____ _____ 【知识梳理】 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α= S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α = = C2α 正切 tan 2α= T2α 温馨提示 (1)sin 2α,cos 2α对α∈R都成立. (2)二倍角是相对的,只要左端的角是右端角的二倍,公式仍成立. 例1 (链接教材P165练习T1)求下列各式的值: (1)1-2sin2750°; (2); (3)cos 20°cos 40°cos 80°. _____ _____ _____ 思维升华 二倍角公式的应用一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 训练1 求下列各式的值: (1)1-2cos267.5°;(2); (3);(4)cos4. _____ _____ _____ 二、二倍角公式的变形 探究4 能否用cos 2α来表示sin2α和cos2α _____ _____ _____ 【知识梳理】 (1)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α, 1-cos 2α=2sin2α. 1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α =(sin α±cos α)2. (2)降幂公式:cos2α=, sin2α=,(sin α±cos α)2=1±sin 2α. 例2 化简下列各式: (1); (2); (3). _____ _____ _____ 思维升华 (1)运用升幂公式角变为原来的一半;运用降幂公式角变为原来的二倍. (2)有根式时注意运用升幂公式. 训练2 化简下列各式: (1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·; (2)(其中π<θ<). _____ _____ _____ 三、给值求值 例3 (1)若cos,则sin 2α= ( ) A.- C. (2)已知sin,那么cos等于 ( ) A.- C. _____ _____ _____ 思维升华 解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: ①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; ②寻找已知角与所求角(或余角)之间的关系,看是否适合相关公式的使用. (2)注意几种公式的灵活应用,如: ①sin 2x=cos =2cos2. ②cos 2x=sin =2sin. 训练3 (1)已知cos(13°+α)=-,则sin(-64°+2α)的值为 ( ) A.- C.- (2)若tan,则tan 2α+= . 四、二倍角公式在实际问题中的应用 例4 (链接教材P165例3)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形,记∠COP=α,当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大 并求出这个最大面积. _____ _____ _____ 思维升华 三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角恒等变换来解决;实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用三角函数模型解决实际的优化问题. 训练4 如图,已知两条公路AB,AC的交汇点A处有一学校,现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,在两公路旁M,N(异于点A)处设两个销售点,且满足∠A=∠PMN=75°,MN=(千米),PM=2(千米),设∠AMN=θ. (1)试用θ表示AM,并写出θ的范围. (2)当θ为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远) 注:sin 75°= _____ __ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
