3.2 半角公式 课标要求 1.能用二倍角公式推导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用. 【引入】 在利用二倍角公式解决问题时,已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如果已知一个角α的一个三角函数值,能否求出这个角α 的一半的所有三角函数值 一、半角公式 探究1 如何只用cos α表示的三角函数 _____ _____ _____ 探究2 在探究1中的结果中,如何选取符号 _____ _____ _____ 探究3 能否用sin α和cos α表示tan _____ _____ _____ 【知识梳理】 sin= , cos= , tan. 温馨提示 1.与倍角关系类似,半角关系也是相对而言的,如α是2α的半角,的半角等. 2.在cos,sin的公式中,α∈R;在tan的公式中,要保证α≠(2k+1)π,k∈Z,对于它的三个公式(一个无理式,两个有理式)注意选择使用. 例1 (1)化简= ( ) A.cos 10° B.sin 10° C.2sin 10°-cos 10° D.2cos 10°-sin 10° (2)tan 67.5°-tan 22.5°的值是 . _____ _____ _____ 思维升华 对于给角求值(或化简)问题 (1)若给出定角,要注意恒等变形,合理选用半角公式. (2)若给出角的范围,注意半角公式无理式符号的选取. 训练1 (1)(链接教材P167练习T2)sin= ;tan= . (2)若-2π<α<-,则化简的结果是 ( ) A.sin C.-sin 二、给值求值 例2 (链接教材P167例5)(1)已知α∈,sin α=,则cos= ( ) A.- (2)若cos α=-,α是第三象限角,则= ( ) A.- C.2 D.-2 _____ _____ _____ 思维升华 对给值求值问题 (1)当给出角的区间范围时,由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (2)当给出角的象限时,应分类讨论半角所在的象限. (3)求半角的正切时,应根据条件选用有理式或无理式. 训练2 (1)已知sin α=,cos α=,则tan等于 ( ) A.2- C.-2 D.±(-2) (2)若tan α=,且α为第一象限角,则sin= ( ) A. 三、化简三角函数式 例3 化简:(其中180°<α<360°). _____ _____ _____ 思维升华 对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 训练3 化简下列各式: (1). (2)(3π<α<4π). _____ _____ _____ 四、证明三角恒等式 例4 (链接教材P168A组T9)求证:sin 2α. _____ _____ _____ 思维升华 证明恒等式的一般步骤: (1)先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; (2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 训练4 求证:-tan θtan 2θ=1. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.(多选)下列各式与tan α相等的是 ( ) A. C. 2.△ABC中,sin,则tan = ( ) A. -1 3.若5π<θ<6π,cos=a,则sin= . 4.设α是第二象限角,tan α=-,且sin,则cos= . 3.2 半角公式 探究1 提示 由cos α=1-2sin2,得sin2, 即sin; 由cos α=2cos2-1, 得cos2, 即cos; tan. 探究2 提示 根据所在的象限选取符号,若所在象限无法确定,应保留根式前面的正、负两个符号. 探究3 提示 tan ; tan. 知识梳理 ± 例1 (1)A (2)2 [(1) =+sin 10° =|sin 10°-cos 10°|+sin 10° =cos 10°-sin 10°+sin 10°=cos 10°. (2)tan 67.5°-tan 22.5°==2.] 训练1 (1)-1 (2)D [(1)sin. tan-1. (2)=. ∵-2π<α<-,∴-π<, ∴cos<0, ∴原式=.] 例2 (1)A (2)A [(1)由α∈,得cos α=-, ∵<α<π,∴,∴cos>0, ∴cos, ∴cos. (2)法一 ∵cos α=-,α是第三象 ... ...
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