2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.掌握利用共轭复数进行分母实数化. 【引入】 上节课我们学习了复数的加减运算,这节课我们来学习复数的乘法与除法运算. 一、复数的乘法运算 探究1 类比多项式乘法,对于任意两复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),相乘能得到什么结果 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复数的乘法法则 (1)对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),(a+bi)(c+di)= . (2)在进行复数乘法运算时,通常直接使用多项式乘法法则. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z∈C,有 结合律 (z1·z2)·z3= 交换律 z1·z2= 乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)= 3.复数乘方 (1)对复数z1,z2,z3和正整数m,n有 zm·zn= ; (zm)n= ; (z1·z2)n= . (2)对任意自然数n,有 i4n= ,i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= . 4.互为共轭复数的两个复数的乘积是 ,等于这个复数(或其共轭复数) ,即若z=a+bi(a,b∈R),则z·= = = . 温馨提示 复数的乘法类似于两个多项式相乘,只是在所得的结果中把i2换成-1,且把实部、虚部分别合并即可. 例1 (链接教材P184例7)计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i);(3)(1+i)3. _____ _____ _____ 思维升华 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等. (2)像a+bi和a-bi这样的两个复数互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其数值特征为(a+bi)(a-bi)=a2+b2. 训练1 (1)设a∈R,若复数z=(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等(i是虚数单位),则a= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 (2)设复数z=1+i,则z2-2z= . 二、复数的除法运算 探究2 类比实数的除法是乘法的逆运算,应该如何定义复数的除法运算 _____ _____ _____ 【知识梳理】 对任意的复数z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),i. 温馨提示 复数的除法与实数的除法有所不同,对于实数的除法,可以直接约分化简,得出结论,但对于复数的除法,因为分母为复数,所以一般不能直接约分化简. 例2 (链接教材P186例11)计算:(1); (2). _____ _____ _____ 思维升华 复数与复数相除,一般写成分式形式,采用分母“实数化”的方法,即将分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母成为实数,再计算. 训练2 (1)已知复数z=,则在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)若复数z=(a∈R)是纯虚数,则z= ( ) A.-2 B.2i C.-i D.i 三、在复数范围内解方程 例3 在复数范围内解方程x2+4x+6=0. _____ _____ _____ 思维升华 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,即若复数a+bi(a,b∈R,b≠0)是实系数一元二次方程的根,则其共轭复数a-bi是该方程的另一根. 训练3 求解下列问题: (1)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,求a+b的值. (2)已知关于x的方程x2+kx+k2-2k=0有一个模为1的虚根,求实数k的值. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-1 2.已知i是虚数单位,则复数= ( ) A.i-2 B.i+2 C.-2 D.2 3.(1-i)4= . 4.已知复数z满足(-i)z=2,则|z|= . 2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 探究1 提示 (a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i. 知识梳理 1.(1)(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z1·(z2·z3) z2·z1 z1·z2+z1·z3 3.(1) (2)1 i -1 -i 4.实数 模的平方 |z|2 ||2 a2+b2 例1 解 (1)(1 ... ...
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